ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Энергетический критерий из "Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 3 " Критерий несовершенств тесно связан с так называемым деформационным методом расчета конструкций, который некоторые авторы необоснованно предлагают взамен расчета на устойчивость. [c.375] Положение равновесия консервативной системы устойчиво, если ее полная потенциальная энергия имеет в этом положении минимум. [c.376] Доказательство теоремы состоит в следующем. [c.376] Условимся считать, что положение равновесия принято за нулевую точку пространства перемещений и что полная потенциальная энергия П отсчитывается от этого положения П = О при = О (I = 1,. .., к). Из того, что при данной нагрузке р энергия П имеет минимум в начале координат, следует, что существует некоторая Д-окрестность нулевой точки, в которой энергия П положительна, т. е. [c.376] Значит, в 2Р-мерном пространстве состояний системы = о в начале координат, т. е. при р,- = 0, ф- = 0 (1= , .к), и О в некоторой окрестности начала, а именно, при 7г Д, р ФО (I = 1.к). [c.376] Теорема Лагранжа остается справедливой и д.ля системы, ко--торая получается из консервативной путем добавления диссипативных сил. При движении такой системы полная энергия Е во всяком случае не возрастает (см. гл. XVII, 17.5, раздел 2), и если в начальный момент а , то в дальнейшем это неравенство не нарушится. Отсюда следует, что диссипативные силы не могут дестабилизировать устойчивое равновесие системы, находящейся под действием потенциальных сил. [c.377] Диаграмма сила — перемещение показана на рис. 18.54, в, где прямая а отвечает равновесию системы с вертикальным положением стержня, а кривая ЬЬ — равновесию при наклоненном стержне. [c.378] Так как П4 0, то и при р = 1 положение равновесия устойчиво. Если же р 1, то о, П при ф = 0 не имеет минимума и теорема Лагранжа неприменима. [c.378] Если о ф я, то sin ср о и dp/d p 0 если же —я ф Г О, то з]пф 0 и dp/d p iO. В обоих случаях дЩ/д(р 0 Па о и равновесие с наклонным положением стержня устойчиво. [c.379] Критерий Сильвестра (см., например, Ефимов Н. В., Розен-дорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия, — М. Наука, 1970). [c.379] Если р = о, то эти условия выполняются. Это и понятно для незагруженной системы П == 7 0. По мере увеличения нагрузки р о первым может оказаться нарушенным третье нз неравенств. Значит, энергия П сохраняет в положении равновесия минимум и это положение устойчиво, пока определитель матрицы эффективной жесткости системы положителен, т. е. [c.380] значит, на том перемещении, на котором Пг = 0, П 0. Отсюда следует, что при р = Р1 невозмущенное равновесие ф1 = 0, Ф2 = о сохраняет устойчивость. [c.380] Эволюция квадратичной формы Пг с ростом нагрузки р а) П 0 б) Щ 0 е) П, 0 г) 11. 0 д) Пг 0. [c.381] При любой нагрузке р р полная потенциальная энергия П в невозмущенном равновесии не имеет минимума и по теореме Лагранжа об устойчивости этого равновесия судить невозможно. [c.381] теорема Лагранжа устанавливает достаточный признак устойчивости консервативной системы. Столь же общего необходимого признака устойчивости не существует. Достаточные признаки неустойчивости формулируются в следующем пункте. [c.381] В то же время из того, что разложение (18.109) начинается с членов четной степени, отнюдь не вытекает определенность по знаку энергии П. В предыдущем разделе, например, встречалась квадратичная форма, которая на одних перемещениях была положительной, а на других — отрицательной. [c.382] Без доказательства приведем следующие две теоремы Ляпунова ). [c.382] Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — М. Физматгиз, 1959. [c.382] В первой из этих теорем имеется в виду один из трех случаев либо квадратичная форма П2 не определена по знаку, т. е. Пг О, либо форма Пз отрицательно полуопределена, т. е. Пг О, либо, наконец, форма Па определена отрицательно, т. е. Па 0. Только в этих случаях можно установить отсутствие минимума функции П по квадратичной части ее разложения если Па о, то П имеет минимум если же Па О, то квадратичная часть разложения не позволяет судить о наличии или отсутствии минимума функции П (см. раздел 1). [c.383] На основании теоремы 1° можно утверждать, что положение равновесия ср = 0 системы с одной степенью свободы (см. рис. 18.54) при нагрузке р 1 неустойчиво. На этом же основании неустойчивым является положение равновесия ф1 = 0, фа = о системы с двумя степенями свободы (см. рис. 18.55) при любой нагрузке р Р (см. также рис. 18.56). [c.383] Вернуться к основной статье