ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Потеря устойчивости первоначальной формы равновесия упругой системы в смысле Эйлера (классический тип потери устойчиво. Статический критерий из "Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 3 " Во всех тех предыдущих разделах настоящего курса, в которых обсуждалось статическое внешнее воздействие на деформируемые системы и использовалась линейная постановка проблемы (линейные уравнения), мы обнаруживали единственное положение равновесия системы, испытавшей деформацию, и относящиеся к нему внутренние усилия. Этот факт находится в полном соответствии с теоремой о единственности ре-щения задачи линейной теории упругости (см. т. I, 9.5). [c.277] Не оговаривая этого специально, мы исходили из предположения, что обнаруживаемое в расчете единственное положение равновесия является реализуемым и близким к действительному в той мере, в какой принятые в основу расчета данные близки к натуре (свойства материала, размеры и форма конструкции, внешние воздействия и т. п.). Однако, строго говоря, в проводившихся теоретических построениях и расчетах обнаруживалось лишь существование положения равновесия системы и никакого обоснования реализуемости этого положения не давалось. Вместе с тем хорошо известно, что одной возможности положения равновесия далеко не достаточно для суждения о его реализуемости. [c.277] На рис. 18.1 изображен классический пример из курса физики, который показывает, что равновесие может быть устойчивым, безразличным (нейтральным) и неустойчивым. Представлены все (шесть) мыслимые ситуации равновесного положения шарика на телах, имеющих различные поверхности, и только в одном из этих случаев положение равновесия является реализуемым (устойчивым) и при том единственным — шарик в наи-низшей точке дна чаши . К обсуждению рис. 18.1 мы еще вернемся. [c.277] Пример с линейкой наглядно показывает, как важно уметь судить, является ли полученное в расчете положение равновесия устойчивым или неустойчивым, поскольку в последнем случае система может не удовлетворять предъявляемым к ней требованиям. [c.278] Для этого и создана теория устойчивости деформируемых систем ). [c.278] Потеря устойчивости первоначальной формы равновесия для большинства элементов конструкций является причиной исчерпания их работоспособности, а это может привести к катастрофе всей конструкции. Такие случаи не единичны. При этом потеря устойчивости даже, казалось бы, второстепенным элементом конструкции может оказаться роковой для всей конструкции в целом. В истории техники известен, например, случай, в котором потеря устойчивости элемента соединительной решетки в одном из элементов мостовой фермы привела к катастрофе очень большого пролетного мостового строения, находившегося еще в процессе постройки (Квебек, Канада). [c.279] Наряду с этим для ряда элементов в процессе работы некоторых конструкций, например обшивки палуб, днища в корпусе судна, обшивки фюзелялса и крыльев самолета, предусматривается возможность потери местной устойчивости в упругой области работы материала, которая не является опасной ни для элемента, ни для конструкции в целом. Однако и в этом случае необходимо уметь оценивать значение усилия, вызывающего потерю устойчивости элементом, так как после потери им устойчивости при дальнейшем повышении уровня нагрузки, действующей на всю конструкцию, работоспособность элемента не исчерпывается и сохраняется примерно такой (элемент может воспринимать некоторое приращение приходящейся на него нагрузки), как и при потере им устойчивости. [c.279] Равновесие системы (покой) является частным случаем движения. Вместе с тем, обсуждая движение, мы рассматривали одно из важнейших его свойств — устойчивость. Поэтому вполне естественным является определение устойчивости двилгения системы соответствующим образом спроектировать на случай равновесия системы ). [c.279] Применим это определение к равновесному положению си-стемы с п = к степенями свободы, определяемому обобщенными координатами д, . .., дк. [c.280] Данное здесь определение устойчивости системы можно проиллюстрировать рисунком (рис. 18.3), аналогичным рис. [c.281] Уточним и расширим понятие устойчивости равновесия системы. [c.284] Положение равновесия системы естественно считать устойчивым тогда, когда оно устойчиво по отношению ко всем возможным возмуи ениям, и неустойчивым, когда оно неустойчиво по отношению хотя бы к одному из них. [c.284] Возбужденное возмущением состояние системы в определенных случаях может быть новым, сколь угодно близким к первоначальному положением равновесия (покоя) системы (рис. 18.2,г). Относительно такого проверяемого положения равновесия говорят, что оно безразличное или нейтральное. В других случаях вызванное возмущением состояние системы представляет собой движение. Если этим движением является монотонное возвращение к исходному положению системы (рис. 18.2, (3) или затухающие колебания (рис. 18.2, н), то проверяемое положение равновесия является асимптотически устойчивым. Если вызванное возмущением движение является незатухающими периодическими (в частности, гармоническими) колебаниями, то проверяемое положение равновесия устойчиво (рис. 18.2, а), и, наконец, в случае, если движением, вызванным возмущением, является монотонный уход от проверяемого положения равновесия (рис. 18.2, е) или возрастающие по размаху с течением времени колебания, равновесие неустойчиво. [c.284] Вернемся теперь к рассмотрению шарика на поверхностях (см. рис. 18.1), учитывая введенные понятия и определения. [c.284] Равновесие шарика, находящегося в состоянии покоя в некоторой точке на плоскости (рис. 18.1,6), при возмущении в виде начального смеш,ения, является безразличным (нейтральным) если же возмущением является импульс, то — неустойчивым, поскольку шарик будет неограниченно удаляться от первоначального положения остановится шарик лишь при наличии трения, пройдя какое-то расстояние. [c.285] Малейшее возмущение (будь то смешение или импульс) положения равновесия шарика на вершине купола (рис. [c.285] Перемещение шарика (или воздействие на него импульса) от точки перевала на седле строго по штриховой (водораздельной) линии, изображенной на рис. 18.1, е, приводит, казалось бы, к колебательному движению шарика, в частности к затухающему колебательному движению по указанной штриховой линии. Однако малейшее смещение от перевальной точки в любом направлении от штриховой линии приводит к движению, монотонно удаляющему шарик от этой точки как от положения равновесия. Следовательно, положение равновесия шарика в перевальной точке седла является неустойчивым. [c.285] Аналогично, в положении неустойчивого равновесия пребывает шарик, находясь в любой точке замковой линии свода (рис. 18.1, (3). [c.285] находящийся на дне желоба (рис. 18.1,г), по отношению к возбуждению начальным смещением пребывает в безразличном равновесии, а по отношению к возбуждению начальным импульсом — в неустойчивом. [c.285] Из изложенного выше можно, казалось бы, заключить, что исследование устойчивости деформируемой системы требует, во-первых, нелинейной постановки проблемы, чтобы обнаружить все возможные формы равновесия, а во вторых, использования аппарата динамики. Однако, как это будет подробно объяснено в последующих параграфах главы, дело обстоит иначе. Для уяснения этого вопроса отметим три категории понятий явление. [c.286] Вернуться к основной статье