ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Линейные колебания системы с несколькими степенями свободы из "Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 3 " Частное решение этого уравнения можно представить в виде q = Di. .. Dk) sin ( с/ -Ь (ро). [c.140] Это уравнение называется уравнением частот. [c.140] Здесь б/г — перемещение по адресу обобщенной координаты 7/ при статическом действии на систему силы, равной единице и энергетически соответствующей обобщенной координате 9/. [c.143] Соответственно график функции ц,- может быть отнесен к k шкалам на оси абсцисс (а,-= со/сосг, i= 1,. ... k), В (17.189) Fiji и р2Ц — некоторые функции от ш/ысь Ниже на примере системы с двумя степенями свободы этот вопрос подробно обсужден. [c.143] При равенстве частот а и сос в механической системе возникает резонанс — происходит рост амплитуд обобщенных координат. Всего возникает k резонансов. Каждый из k динамических коэффициентов имеет к областей возрастания значений р/. Если исследуются колебания системы без учета сопротивления, то наступлению резонанса соответствует обращение в нуль знаменателя в формуле для р и неограниченный рост амплитуд обобщенных координат. Выше уже пояснялось, почему на самом деле рост амплитуд ограничен (неправомочность линейных уравнений и необходимость использования нелинейных уравнений, решение которых не растет неограниченно. К тому же к ограниченному росту амплитуд обобщенных координат в резонансных областях приводит и наличие сопротивлений, что обнаруживается при применении и линейной теории). [c.143] Если в нуль обращается числитель дроби (17.189), то в системе возникает антирезонанс — система колеблется при нулевом значении обобщенной координаты qj в течение всего процесса колебаний. [c.143] Определитель квадратной матрицы в (17.191) обращается в нуль при еовпадении величины ш с любой из к еобственных частот колебаний со/ (I = 1,2,. .., к)—возникает резонанс. (При наличии сопротивления имеют место максимумы в величине динамического коэффициента в окрестности значений аи/а, близких к единице). Формулы динамических коэффициентов для системы с двумя степенями свободы показаны в разделе 5 настоящего параграфа в примере 17.29. В случае систем с большим числом степеней свободы структура формул аналогична. [c.144] Уравнение (17.193) аналогично уравнению (17.97), справедливому для системы с одной степенью свободы. [c.144] Заметим, что, как и должно быть, при переходе от произвольной системы обобщенных координат к главным спектр частот не изменяется. [c.145] Задача сводится к получению и обращению матрицы 5. Итак, получение матрицы связано с тремя преобразованиями вектора обобщенных координат. [c.146] В первом преобразовании матрица 11.4 является фундаментальной для матрицы А. [c.146] Определитель, находящийся в левой части этого равенства, называется характеристическим. Не все корни уравнения (17.196) обязательно различны. Собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, линейно независимы. [c.146] Если матрица А — ЯЕ имеет дефект йо, то собственному числу Я соответствует йо линейно независимых собственных векторов. [c.146] Если число линейно независимых собственных векторов матрицы равно ее порядку к, то говорят, что матрица имеет простую структуру. В этом случае дефект матрицы А — Я/Е равен кратности т,- соответствующего собственного числа Я/, т. е. с / = т,-. [c.146] Фундаментальная матрица является ортогональной, т, е. [c.147] Второе преобразование, осуществляемое при помощи матрицы 91, имеет целью сделать матрицу квадратичной формы Т единичной, т. е. [c.148] В результате второго преобразования первую квадратичную форму (Т) привели к сумме квадратов. Остается выполнить третье преобразование, которое привело бы матрицу второй квадратичной формы ([/) к диагональному виду, не нарушив вида матрицы первой квадратичной формы. С этой целью используем в качестве матрицы преобразования Мр — фундаментальную матрицу матрицы Р, т. е. [c.148] матрицы 11д, 91, И , входящие в формулу (17.195)2 для 8, получены и переход от q к 1 по формуле (17.195)1 совершен. [c.149] Переход от произвольной системы обобщенных координат qu qk к главным ]ь. .., ] является операцией не менее трудоемкой, чем решение проблемы при помощи исходной системы обобщенных координат. [c.149] Вследствие сказанного, использовать главные координаты целесообразно лишь в тех случаях, когда их отыскание может быть выполнено не по общему алгоритму, приведенному выше, а упрощенно на основе тех или иных структурных особенностей исходных матриц. [c.149] Вернуться к основной статье