ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Формула Папковича и вытекающие из нее следствия из "Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 2 " К правой части (15.90) добавляются нулевые члены — и — от чего, разумеется, равенство не нарушается. [c.515] Тождественное равенство двух форм представления согласно (15.91)1 и (15.91)2, легко доказать, сопоставляя развернутые выражения 21 и Оа. [c.515] Переход от интеграла по поверхности к интегралу по ограниченному ею объему выполнен по формуле Гаусса— Остроградского. [c.515] Это и есть равенство П. Ф. Папковича. [c.516] 94) в общем случае фигурируют элементы четырех произвольных состояний тела. Для первого из них известны внешние силы X и pv, для второго — перемещения и, для третьего — напряжения а и, наконец, для четвертого — деформации г. В частности, все эти векторы или некоторые из них могут относиться к одному и тому же напряженно-деформированному состоянию тела. [c.516] Если X, Pv и от относятся к одному состоянию тела, то выполняются условия равновесия внутри (во всем объеме) тела и на его поверхности если к одному состоянию тела относятся и и е, то удовлетворяются уравнения Коши, а следовательно, и условия совместности деформаций. [c.516] Пусть имеем два состояния тела. Векторы, относящиеся к первому из них, снабдим индексом 1, а ко второму — индексом 2. [c.517] Равенства (15.99) и (15.100) выражают собой теорему о взаимности работ для сплошной линейной среды в двух различных редакциях. Выше в 15.14 теорема о взаимности работ была сформулирована в общем виде, но аналитически представлена применительно лишь к стержневым системам. [c.517] Коль скоро на 5 перемещения заданы, вариация би на этой части поверхности равна нулю би 5 =би=0. [c.518] Справедливо и обратное утверждение если функционал приобретает стационарное значение на множестве кинематически возможных кривых сравнения и, т. е. при кинематически возможных вариациях би, то тело находится в равновесии (равновесие в объеме и на поверхности). Это вытекает из того, что функционал /1[и] соответствует тождественному равенству П. Ф. Пап-ковича (15.94) в предположении равновесия тела. [c.519] Можно доказать справедливость приведенного выше обратного утверждения, не апеллируя к равенству (15.94). Покажем как это делается. [c.519] При получении (15.107) учтено соотношение (15.101), описывающее кинематическую возможность вариаций бе (и) и би. [c.519] Здесь первый интеграл берется по Sp, поскольку на остальной части поверхности тела Sa = S — Sp вариации перемещений равны нулю (перемещения здесь являются заданными). [c.519] Если предположить, что материал подчиняется закону Гука и удовлетворены уравнения Коши, т. е. соответственно соблюдены зависимости (15.21) и (15.19), то дифференциальные уравнения равновесия приобретают вид уравнений Ламе. [c.520] Разумеется, поскольку у вектора и, от которого зависит функционал /х (и) и по которому производится варьирование последнего, три составляющих, то и уравнений Эйлера в вариационной задаче для (и) тоже три (дифференциальные уравнения равновесия или три уравнения Ламе, если представлять их не в векторной форме, а в составляющих). [c.520] Это иная запись (15.70). [c.521] Стационарность этого функционала рассматривается в вариационном принципе Кастильяно, который формулируется так. Если деформированное состояние тела подчинено условиям совместности деформаций, то истинному состоянию тела соответствует стационарность функционала I у), которая имеет место на множестве вектор-функций сравнения %, порождающих статически возможные напряжения а, т. е. при вариациях бх, соответствующих статически возможным вариациям бо. Последние к тому же обладают самоуравновешенностью вследствие равенства нулю вариаций внешних сил. [c.521] Справедливо и обратное утверждение если функционал /4 (х) приобретает стационарное значение на множестве вектор-функций сравнения х порождающих статически возможные напряжения а, которым соответствуют самоуравновешенные вариации б(г, то деформации подчиняются условию их совместности. Это вытекает из того, что функционал /4[х] соответствует тождественному равенству П. Ф. Папковича (15.94) в предположении совместности деформаций в теле. [c.521] В каждом из принципов условием стационарности функционала является одно (векторное) уравнение Эйлера (по числу функций, от которых зависит каждый из функционалов и /4). Если в качестве уравнений Эйлера получены соответственно уравнения Ламе и уравнения Бельтрами — Мичелла, то в каждом из указанных вариационных принципов на функционал наложено два условия. [c.522] Вернуться к основной статье