ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О возможности формулирования вариационных принципов теории упругости из "Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 2 " Из изложенного в 15.2 очевидно, что некоторое множество проблем может быть описано при помощи требования стационарности некоторых функционалов, т. е. в вариационной форме. В каждом из таких случаев эта же проблема представима и в локальной форме — при помощи дифференциальных уравнений, являющихся уравнениями Эйлера в вариационной задаче для соответствующего функционала. [c.450] Отметим некоторые книги, в которых обсуждаются прямые методы математического анализа. [c.450] К а н т о р о в и ч Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа.—М. Гостехиздат, 1949. [c.450] М и X л и н С. Г., Смолицкин X. М. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений (серия Справочная математическая библиотека ), —М. Наука, 1965. [c.450] М и X л и н С. Г. Численная реализация вариационных методов. — М. Наука, 1966. [c.450] Филин А. П. Приближенные методы математического анализа, используемые в механике твердых деформируемых тел. —Л. Стройиздат, 1971. [c.450] Формальность сопряжения заключается в рассмотрении лишь символа дифференцирования без задания области его определения, включающей в себя область изменения независимых переменн.ых, класс функций и граничные условия для функций, на которые действует оператор. [c.451] Указанным условиям удовлетворяют линейные уравнения теории упругости, а именно, общее решение уравнений равновесия (совместности деформаций) выражаются при помощи оператора, являющегося формально сопряженным оператору, входящему в уравнения совместности деформаций (равновесия). [c.451] Для того, чтобы подтвердить сказанное, во-первых, покажем, что в пространственной задаче теории упругости компоненты напряжений могут быть выражены через шесть некоторых функций напряжений (наподобие функции Эри в плоской задаче теории упругости), образующих так называемый тензор функций напряжений, а во-вторых, представим все основные уравнения и зависимости пространственной задачи теории упругости в матричной форме. [c.451] Итальянский ученый Б. Финци показал ), что если компоненты напряжений представить в нижеприводимой форме, выразив их через шесть функций Хц, Х22. Хзз, Хгз. Хзк Хк. то однородные дифференциальные уравнения равновесия удовлетворяются. [c.451] Выражения а через % можно рассматривать как решение однородных дифференциальных уравнений равновесия, поскольку прн по,дстановке этих выражений в однородные дифференциальные уравнения равновесия последние обращаются в тождества. Аналогично и формулы (уравнения) Кошн, в которых компоненты деформаций выражаются через составляющие перемещения, могут рассматриваться как решение дифференциальных уравнений совместности деформаций Сен-Венана (поскольку подстановка выражений для компонентов деформаций согласно формулам Коши в последние уравнения обращает их в тождества). [c.452] Здесь 0 р —вектор, представляющий собой частное решение неоднородных дифференциальных уравнений равновесия. Учитывая приведенные выше обозначения, получим следующую запись уравнений и зависимостей теории упругости. [c.453] Отсюда ясно, что операторы А и А являются формально сопряженными, т. е. А = А вместе с тем А —это оператор в уравнениях равновесия, а А —оператор в решении уравнений совместности деформаций. [c.455] Отсюда ясно, что операторы В и В являются формально сопряженными, т. е. В = В, вместе с тем В —это оператор, входящий в дифференциальное уравнение совместности деформаций, а В — оператор, входящий в решение уравнений равновесия. Таким образом, полученные равенства свидетельствуют о том, что условия, поставленные в начале параграфа, выполнены и дифференциальные уравнения теории упругости являются уравнениями Эйлера, соответствующими вариационным проблемам для некоторых функционалов. [c.455] Обсуждаемый в настоящем параграфе вопрос связан с симметрией всего аппарата теории упругости, характеризуемой схемой, показанной в табл. 15.2. В этой схеме а занимает симметричное положение по отношению к е, а и по отношению к х- Как будет показано ниже, симметрией обладает и система функционалов и соответствующих им вариационных принципов. [c.455] Выше говорилось, что вариационные проблемы подразделяются на свободные (без дополнительных условий) и на вариационные проблемы условного экстремума при наложении на функции, от которых зависит функционал, дополнительных условий. Функционалы, соответствующие свободным вариационным проблемам, будем называть полными, а вариационным проблемам на условный экстремум — частными. [c.456] Вернуться к основной статье