ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Анализ частных случаев поперечного изгиба балки прямоугольного сечения методом теории упругости. Обоснование предположений, принятых при построении технической теории из "Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 2 " На этих примерах удается проследить и за некоторыми особенностями самого полуобратного метода Сен-Венана, оставшимися невыясненными в силу большой простоты тех задач, которые выше были решены этим методом. [c.148] При подстановке (12.50) в (9.94), имеем 0 = 0. [c.149] Иными словами, компоненты напряжений (12.50) удовлетворяют и условиям равновесия и условиям совместности деформаций. [c.149] И сопоставим их с заданными на поверхности силами для того, чтобы удостовериться, является ли система (12.50) решением именно той задачи, которая нас интересует. Условия на поверхности имеют вид (9.88). [c.150] на правом торце действительно действует сила, равная Р, как это и было задано в условии примера. Однако напряжения (12.50) соответствуют не любому распределению этой силы на торце, а лишь такому, какое предписано зависимостью (12.50). При любом другом распределении силы Р на торце напряжения будут другими, чем (12.50). Однако на основании принципа Сен-Венана на небольшом удалении от торца на величину порядка к практически закон распределения Р по торцу не существенно влияет на напряжения. [c.150] Знак минус перед интегралом принят в связи с тем, что при положительных у и руг изгибающий момент отрицателен (рис. 12.39, б). Итак, получили подтверждение, что функции (12.50) представляют собой компоненты напряжений именно в интересующей нас задаче. [c.151] Ин( )ормация, аналогичная приведенной выше (результат интегрирования), дается и в этом случае, но здесь сначала определена функция Г(У, а затем и. [c.152] Сопоставляя (12.56), (12.57) с одной стороны и (12.58), (12.59) с другой, обнаруживаем отличие в соответствующих формулах — подчеркнутые члены отсутствуют в аналогичной функции из другой группы формул. [c.153] Позднее, находя перемещения при изгибе балки в 12.15, мы вернемся к формулам (12.60), (12.61). Последний член в формуле (12.61) отражает влияние сдвигов на прогибы (см, рис. 12.41). [c.154] Прогиб вследствие сдвигов в балке. [c.155] Во втором варианте закрепления второй член в выражении для прогиба на конце консоли учитывает влияние сдвигов. В первом варианте закрепления сдвиги на перемещения оси влияния не оказывают, но зато влияют на поворот элемента, лежащего в поперечном сечении заделки. [c.157] Второе уравнение равновесия удовлетворено, а первое — нет, выражение, стоящее в левой части (12.66)i, не нуль. Неудовлетворения первому уравнению равновесия следовало ожидать, так как принимаемое в технической теории равенство о = 0 противоречит хотя бы тому условию, что на верхней грани балки Од = — q разумеется, и на площадках, параллельных верхней грани. [c.158] При других законах и сохранении величины интеграла (12.76), а также равенстве нулю продольной силы и изгибающего момента на торцах компоненты напряжений будут иными, чем даваемые формулами (12.72), однако, согласно принципу Сен-Венана, уже в небольшом удалении от торцов численно напряжения будут мало от них отличаться. [c.161] Последний член в формуле для очень мал, так как мал порядок отношения у1Ё, и им можно пренебречь. Происхождение этого члена таково, что вследствие наличия Оу и поперечного сжатия балки под влиянием этого напряжения происходит удлинение осевого волокна балки. Аналогично происхождение последнего члена в формуле для (12.79). [c.162] В формуле (12.80) подчеркнут член, связанный с искривлением поперечного сечения. [c.163] При искривлении сечений в условиях переменной вдоль оси г поперечной силы (изгиб балки на двух опорах равномерно распределенной нагрузкой) оказывается нелинейной функцией (формула (12.79)), однако отклонение ее от линейной незначительно. Чтобы доказать это утверждение, оценим удельный вес подчеркнутого нелинейного относительно у члена в общей величине выражения в фигурных скобках в формуле для (12.79). В табл. 12.1 приведен процент, составляемый нелинейным членом, а также последним членом от всего значения выражения, стоящего в фигурных скобках в формуле для (12.79). С целью перехода к безразмерным величинам все члены в скобках разделены на П. Из таблицы становится очевидной возможность использования формулы (12.10) для о и при искривлении поперечных сечений вследствие неравномерности сдвига по высоте балки. Только вблизи торцов влияние нелинейного члена становится большим. Сказанным подтверждается утверждение, сделанное в разделе 8 12.6 о целесообразности отказа от гипотезы плоских сечений в пользу гипотезы о постоянстве вдоль оси балки депланации сечений. [c.163] Учитывая, ЧТО Ijh b, легко понять пренебрежимую малость I тах по сравнению с Ог max- Этим оправдывается пренебрежение напряжением 0 по сравнению с в технической теории балок. [c.165] При рассмотрении же поперечного изгиба было обнаружено, что, во-первых, поперечные сечения вследствие неравномерности сдвигов по высоте балки искривляются, а на площадках, параллельных оси г, вообще говоря, возникают нормальные напряжения. Эти факторы при формальном подходе к вопросу противоречат содержанию гипотез, принятых в 12.3 для чистого изгиба и далее распространенных на случай поперечного изгиба. Однако на самом деле результаты, полученные в 12.4 и 12.6, вполне приемлемы применительно к поперечному изгибу. В сказанном утверждают и оба примера, рассмотренных в настоящем параграфе. [c.165] Коснемся первой гипотезы. В разделе 8 12.6 уже говорилось, что существенным является не сам факт сохранения плоской формы сечения, а вытекающая из него линейность относительно у функции 6j, и что эта линейность может иметь место и при искривлении сечений. [c.165] Вернуться к основной статье