ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Касательные напряжения при поперечном изгибе балки из "Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 2 " Будем считать, что и к поперечному изгибу можно применять формулу (12.10) для нормального напряжения, выведенную применительно к чистому изгибу, т. е., что можно применить гипотезы, введенные в теории чистого изгиба, и к поперечному изгибу в части касающейся ормального напряжения. Позднее правомочность такого допущения будет обсуждена. [c.124] Однако к этому вопросу можно подойти и не столь формально, а воспользоваться опытом, в процессе которого обнаруживаются касательные напряжения в нейтральной плоскости и в плоскостях, параллельных ей. Используя при этом закон парности касательных напряжений, приходим к заключению о наличии касательных напряжений и в поперечных сечениях. [c.125] Представим себе балку на двух опорах, составленную из двух брусков, свободно лежащих один на другом (рис. [c.125] Установим зависимость величины касательного напряжения от координат точки в поперечном сечении. Отнесем балку к той же системе координатных осей, которая была рассмотрена в двух предыдущих параграфах. Напомним, что рассматривается балка симметричного поперечного сечения при условии, что ось симметрии лежит в плоскости действия внешних сил. Будем, следуя Д. И. Журавскому 1), считать, что определению подлежит не полная величина касательного напряжения, а лишь составляющая его, параллельная соответствующей поперечной силе Qy. Иными словами, будем изучать ту составляющую касательного напряжения, статическим эквивалентом которой является поперечная сила Qy. Другая составляющая в пределах сечения, если она имеется при изгибе в плоскости Оу2, образует систему самоуравновешенных, распределенных в поперечном сечении касательных сил. [c.126] Во всех точках поперечного сеченйя лежащих на линии, параллельной нейтральной оси, значение составляющей полного касательного напряжения, параллельной плоскости действия сил, одинаково. [c.127] Из балки, подвергнутой поперечному изгибу, вырежем элемент двумя бесконечно близко друг к другу расположенными поперечными сечениями, одно из которых, обозначенное индексом 1, имеет координату 2, а другое, обозначенное индексом 2, — координату 24- 2. Пусть изгибающий момент в сечении / равен М, а в сечении 2 равен M-]-dM. На рис. 12,21, а изображен этот элемент балки и в сечениях 1 и 2 показаны эпюры нормальных напряжений. В сечении 2 величина нормальных напряжений больше, чем в соответствующих точках (с теми же координатами х и у) сечения 1, именно поэтому в сечении 2 изгибающий момент больше, чем в сечении /, на величину йМ. [c.127] Э Здесь и дальше верхний индекс (у) или (х) при символе компонента касательного напряжения подчеркивает тот факт, что данный компонент соответствует изгибу в плоскости Оуг и Охг. [c.127] При переходе от (12.39) к (12.40), во-первых, учтена дифференциальная зависимость между Qy и Мх, а, во-вторых, учтен закон парности касательных напряжений. В скобки в (12.40) помещена формула для составляющей касательного напряжения при изгибе в плоскости Охг. [c.129] Здесь к (х) — размер поперечного сечения балки вдоль линии, параллельной оси у, проведенной на расстоянии X от нее (рис. [c.129] Полученное распределение касательных напряжений (формула (12.40)) относится к поперечным сечениям, не проходящим через точки /, 2 приложения сосредоточенных сил. Вблизи сечений приложения сосредоточенных сил имеют место особые области, не поддающиеся анализу средствами технической теории. Для исследования этих областей, если материал упруг, необходимо использовать аппарат теории упругости. [c.130] Рассмотрим три характерных формы поперечного сечения балки прямоугольник, круг и двутавр. На этих сечениях могут быть выявлены основные особенности в распределении касательных напряжений по поперечному сечению любого вида. [c.130] Функция (12.41) — квадратная парабола (рис. 12.23, а). Согласно (12.41) наибольшее касательное напряжение, из числа возникающих на площадках, лежащих в плоскости поперечного сечения, имеет место в точках поперечного сечения балки, находящихся на нейтральном слое, а у верхнего и нижнего краев поперечного сечения касательное напряжение равно нулю. [c.130] График функции (12.42 ) изображен на рис. 12.24, б сплошной линией. [c.131] Соответствующий график показан на рис. 12.24, б штриховой линией. Распределение полных касательных напряжений на линии круглого поперечного сечения, параллельной нейтральной линии, показано на рис. 12.24, а. [c.133] Рассмотрим распределение касательных напряжений по двутавровому поперечному сечению балки при поперечном ее изгибе в плоскости Оуг (в плоскости стенки). Если иметь в виду упрощенную форму двутавра, изображенную на рис. 12.27, а, и находить распределение касательных напряжений путем формального применения формулы (12.40), то эпюра этих напряжений имеет вид, показанный на рис. 12.27,6. В эпюре получился разрыв на уровне перехода от стенки к полке вследствие того, что на этом уровне претерпевает разрыв ширина сечения Ь — в точке, лежащей бесконечно близко к уровню перехода от полки к стенке выше этого перехода, ширина Ь, используемая в формуле (12.40), представляет собой ширину полки двутавра, а в точке, лежащей бесконечно близко к тому же уровню, но расположенной ниже него, ширина сечения представляет собой толщину стенки. Разумеется, такая картина является упрощенной и при более строгом решении задачи указанного разрыва в т(к) не обнаруживается. Эпюра на рис. 12.27, б относится к любой линии, лежащей в пределах стенки и параллельной оси у. В силу сделанного предположения о равномерности распределения касательного напряжения на любой прямой, параллельной нейтральной линии, эпюра т в пределах полки должна была бы иметь вид, показанный на рис. 12.27, в. Однако такая эпюра противоречит закону парности касательных напряжений, так как касательных напряжений, параллельных оси г, на нижней грани полки не имеется. [c.134] В силу наличия отмеченной концентрации напряжений в прокатных профилях вблизи перехода от стенки к полке делают закругления и тем самым существенно уменьшают концентрацию напряжений. На рис. 12.26, д показаны эпюры в реальном профиле с закруглениями, построенные на основании решения теории упругости. Заметим, что в этом случае результат мало отличается от полученного и по элементарной теории (формула (12.40)) и от наблюдаемого при экспериментальном анализе напряженного состояния. Напряжение в пределах полки намного меньше, чем в пределах стенки. [c.136] На рис. 12.28,6 показаны эпюры напряжений х в пределах полок и в стенке, возникающие при изгибе в плоскости Оуг. На рис. 12.28, а изображены сами напряжения в поперечном сечении. Наряду с этим в полках имеются напряжения представленные эпюрами на рис. 12.27. [c.138] В пределах всего сечения двутавра, в силу его симметрии напряжения х в полках самоуравновешиваются, т. е. не складываются ни в какую силу. Однако учитывать эти напряжения при оценке прочности необходимо. [c.138] При выводе формулы для касательного напряжения в поперечном сочении балки тонкостенного открытого профиля при поперечном изгибе поступим аналогично тому, как это делалось выше, применительно к балкам массивным или двутаврового сечения. [c.139] Формула (12.10) для отбыла выведена применительно к чистому изгибу, при этом использовалась гипотеза плоских сечений. [c.142] Вернуться к основной статье