ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Оценка результатов элементарной теории посредством аппарата теории упругости из "Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 2 " Свяжем с брусом систему прямолинейных прямоугольных координатных осей. Начало координат поместим в центре одного из торцов, ось 2 направим вдоль оси бруса, а оси х п у ъ плоскости торца. Необходимо исследовать напряженно-деформированное состояние бруса, для чего применим полуобратный метод Сен-Венана. [c.28] Такое ограничение является вполне приемлемым, так как эти силы и не предполагалось учитывать в рассматриваемой задаче. [c.29] Уравнения совместности деформаций (9.27), записанные в напряжениях, при условии (11.33) содержат в левых частях однородные дифференциальные операторы второго порядка, функции же (11.32) имеют либо нулевую, либо первую степень ) и, таким образом, вторые производные от них равны нулю. Вследствие сказанного уравнения совместности деформаций функциями (11.32) удовлетворяются. [c.29] Таким образом функции (11.32) не противоречат уравнениям теории упругости и им соответствует некоторое напряженное состояние тела. [c.29] Из (11.41) ясно, что точки оси бруса не перемещаются, ось бруса остается прямолинейной. [c.32] Равенство (11.42) показывает, что поперечное сечение, плоское до деформации, остается плоским и после деформации. Точки поперечного сечения не выходят из плоскости этого сечения. [c.33] При использовании аппарата геометрически нелинейной теории упругости обнаруживается более точная картина деформации круглого цилиндра при чистом его кручении. Если торцы не закреплены против сближения, то первоначально прямолинейные продольные волокна в процессе кручения не испытывают растяжения. Но поскольку прямолинейная ось каждого из таких волокон превращается при кручении в равновеликую по длине винтовую кривую, концы последней должны располагаться в плоскостях, перпендикулярных оси цилиндра, расстояние между которыми меньше расстояния между плоскостями торцов до деформации. При сопоставлении деформации двух первоначально прямолинейных продольных волокон, находящихся на разных расстояниях от оси цилиндра, обнаруживается, что винтовые кривые, в которые превращаются оси этих волокон, имеют различные кривизны — большую у более удаленного от оси цилиндра волокна. Вследствие этого перемещения в направлении параллельном оси цилиндра точек торцов, находящихся на разных расстояниях от оси цилиндра, различны и торцы, строго говоря, перестают быть плоскими. Если же сближению торцов воспрепятствовать, то при кручении цилиндра первоначально прямолинейные продольные волокна испытывают растяжение. Однако при малых углах закручивания перемещения точек торцов в направлении, параллельном оси цилиндра, оказываются величиной более высокого порядка малости, чем перемещения этих же точек в плоскостях торцов, и описанный эффект почти не проявляется, вследствие чего им пренебрегают. При больших углах закручивания этим эффектом пренебрегать нельзя и задача в таком случае становится геометрически нелинейной. [c.34] Заметим, однако, что, как показал А. Ю. Ишлинский в статье О напряженном состоянии цилиндра при больших углах крутки (Прикладная математика и механика, том VII, 1943, вып. 3) эту задачу можно решить и на основе классической линейной теории упругости. Он изучил напряженно-деформированное состояние упругого круглого цилиндра при больших углах крутки в условиях, когда точки торцов в процессе деформации не перемещаются в направлении, параллельном оси цилиндра. Кроме отмеченного уже возникновения в поперечных сечениях вала нормальных напряжений, складывающихся в продольную силу, обнаружено, что, вследствие поперечной деформации продольных растягиваемых волокон, происходит уменьшение радиуса цилиндра. Наряду с этим возникают радиальные напряжения, равные нулю на боковой поверхности цилиндра и достигающие максимального значения в точках на оси цилиндра. [c.34] Вернуться к основной статье