ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Растяжение призмы (цилиндра) под влиянием собственного веса из "Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 1 " Свяжем с цилиндром систему координатных осей так, как это показано на рис. 9.10. L —длина цилиндра, г и О —полярные координаты точки контура основания. Решение задачи будем вести полуобратным методом Сен-Венана. [c.638] Второй этап. Коль скоро функции а ,. .., Хгх представляют собой алгебраические функции степени не выше первой, условия совместности деформаций тождественно выполняются и задача, таким образом, является простейшей. Остается проверить, удовлетворяют ли функции (9.48) уравнениям равновесия. [c.638] Иными словами, функции (9.48) удовлетворяют и уравнениям равновесия и, таким образом, с точки зрения теории упругости возможны. [c.639] Третий этап. Проверяем, выполняются ли граничные условия задачи в случае использования функций (9.48). Из сделанной выше постановки задачи ясно, что по нижнему основанию и по боковой поверхности не должны действовать поверхностные силы что же касается верхнего основания цилиндра, то к нему не предъявлено никаких требований, и мы можем считать, что на этой части поверхности цилиндра граничные условия могут быть такими, какими они получатся, исходя из функций (9.48 . [c.639] Таким образом, если исходить из функций (9.48), то на боковой поверхности цилиндра, как то и должно быть по условию задачи, поверхностные силы не действуют. [c.639] Коль скоро не было сделано ограничения, касающегося граничных условий на верхнем основании цилиндра, на этом третий этап решения задачи можно было бы и окончить. Однако поинтересуемся, каков закон распределения напряжений по верхнему основанию цилиндра, т, е. по заделанному основанию. [c.639] Таким образом, принятым функциям (9.48) соответствует такой характер закрепления верхнего основания, при котором имеет место равномерное распределение напряжений по сечению заделки. [c.640] Здесь учтено, что i o = 0 согласно (9.54). [c.642] Имея функции (9.72), можем проанализировать форму деформированной призмы. Для конкретности будем считать, что призма представляет собой круглый цилиндр. [c.643] Второй член показывает перемещение точки А цилиндра вдоль его оси. Легко заметить, что по мере удаления от начала координат перемещения вдоль оси г точек, лежащих на оси цилиндра, увеличиваются пропорционально квадрату расстояния от начала координат. Центр сечения, отстоящего от начала координат на расстояние г /2 (точка В), перемещается вдоль оси цилиндра в четыре раза меньше, чем центр сечения, отстоящего от начала координат на расстояние г (точка Л). [c.644] Функция (9.72) показывает, что все поперечные сечения искривляются, и точки сечений, плоских до деформации, ложатся на поверхность, представляющую собой параболоид. [c.644] Если рассматривать произвольную прямую, параллельную оси цилиндра и лежащую внутри него, то в процессе деформации и эта прямая ведет себя аналогично образующей, т. е. остается прямой, нижний ее конец не перемещается вдоль осей х и у (имеет перемещение лишь вдоль оси г) и в деформированном цилиндре эта прямая остается в диаметральной (осевой) плоскости, проведенной через первоначальное ее положение. Иными словами, любая цилиндрическая поверхность, лежащая внутри цилиндра и коаксиальная боковой его поверхности, в процессе деформации превращается в коническую. Учитывая, что все сдвиги равны нулю, волокна (в том числе образующие), параллельные до деформации оси цилиндра, остаются нормальными к поверхностям (параболоидам), в которые превращаются первоначально плоские поперечные сечения. [c.645] Закрепление верхнего основания цилиндра, соответствующее обсуждаемой картине перемещений, можно интерпретировать следующим образом. [c.646] Все точки верхнего основания подвешены к пружинам, жесткости которых подобраны так, что эти точки, перемещаясь, занимают положение на поверхности, показанной на рис. 9.10, в (при этом натяжение всех пружин оказывается одинаковым). Пружины, к которым подвешены точки, лежащие на граничной окружности верхнего основания, можно трактовать как бесконечно длинные нерастяжимые нити. Таким образом, полученное элементарное решение и соответствующая ему картина деформаций относятся лишь к строго определенному частному виду закрепления верхнего основания. Если закрепление верхнего основания цилиндра таково, что все его точки не могут иметь никаких перемещений, решение имеет другой вид и составляющие перемещений гораздо более сложные функции, чем (9.72). [c.646] Вернуться к основной статье