ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Анализ пространственного напряженного состояния в точке из "Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 1 " Формулы (5.18 ) преобразования компонентов при изменении системы координатных осей являются определяющими понятие симметричного тензора второго ранга (см. Дополнение). [c.413] Заметим, что инварианты (5.40 ) являются простейшими симметрическими функциями аргументов и,, и ад (симметрическими потому, что вид их не изменяется при замене одного аргумента на другой простейшими потому, что каждый аргумент (из числа а , аг, Оз) входит в них лишь в первой степени). [c.414] Таким образом, напряженное состояние в точке можно полностью описать, имея среднее (гидростатическое) напряжение и средние квадратичное и кубическое уклонения тензора напряжения от среднего (гидростатического) напряжения, т. е. имея соответственно Оо, Аг и Аз, поскольку, как уже отмечалось, имея 0 , 02 и 3, можно найти ах, Oj и oj. [c.415] И последующего извлечения корня квадратного. В табл. 5.1 приведены направляющие косинусы нормалей ко всем трем парам площадок, величины максимальных касательных напряжений и нормальных составляющих напряжений, действующих на этих площадках. Последние определяются по формуле (5.6). В этой же таблице показаны и площадки с минимальными — нулевыми касательными напряжениями, т. е. главные площадки. На рис. 5.20 изображены площадки с максимальными касательными напряжениями. [c.417] Аналогично, при aj Ог = имеется бесконечное число площадок с касательными напряжениями (Vj) (Oi—-Og). Все эти площадки касаются конуса, показанного на рис. 5.21, б. [c.418] Первое слагаемое, To, называется шаровым тензором напряжений (поверхность Коши для него — сферическая) второе слагаемое, Do, называется девиатором напряжений. Пример разложения тензора напряжений на шаровой и девиатор показан на рис. 5.22. [c.419] Нетрудно показать, что поверхность Коши для девиатора представляет собой совокупность конуса и однополостного и двухполостного гипербо лоидов. Эта совокупность называется гиперболоидом напряжений. [c.419] Наряду с т,- вводят в рассмотрение величину ст,- = У/2 (Do) и называют ее инт нсивностью напряжений. И х и О й некотором смысле характеризуют напряженное состояние в точке тела. [c.421] Здесь й — площадь сферической поверхности, ограничивающей элемент, k == Y U- Заметим, что В. В. Новожилов полагал k = 1 и тогда получал выражение, отличаюп1ееся от (DJ постоянным множителем, но именно эту отличающуюся от YI2 (Da) величину называл интенсивностью касательных напряжений. [c.422] Величину Мо В. В. Новожилов связал с отношением t,пах/т,-, показав, что os og пропорционален этому отношению.. [c.422] Величинам сТо и т,- может быть дана и такая трактовка. Если через точку напряженного тела провести площадки, равнонаклоненные к главныл осям (таких площадок четыре), то нормальной и касательной составляющими напряжения, действующего на такой площадке, являются ао, = Оо — Упомянутые площадки называются октаэдрическими, так как они получаются из противоположных граней правильного октаэдра, построенного на главных осях (рис. 5.24), когда размеры октаэдра устремляются к нулю и противоположные грани сливаются. [c.422] Направляющим тензор Dg назван потому, что он определяет собой направления главных осей. Поверхность Коши, соответствующая ему, называется направляющим гиперболоидом напряжений. [c.424] Учитывая (5.70), убеждаемся, что точки (а , т ,) лежат вне первой и третьей окружностей или н а них и внутри второй окружности или и а ней. [c.426] На одну из окружностей точка попадает в случае, если площадка проходит через одну из главных осей. При этом точка с координатами Оу, Tv лежит на окружности с тем же номером (рис. 5.26), какой имеется и у главной оси, через которую проходит площадка. [c.426] Если площадка проходит через две главные оси, то она совпадает с третьей главной площадкой, и, таким образом, Ту = О, а Ov является главным напряжением, действующим на этой третьей площадке. Точками, соответствующими главным площадкам на диаграмме Мора, являются А, В, С. [c.426] изображенные на рис. 5.26, позволяют получить величины максимальных касательных напряжений и нормальных напряжений, действующих на площадках с максимальными касательными напряжениями эти величины, разумеется, совпадают с приведенными в табл. 5.1. [c.426] Используя круги Мора и зная ориентацию площадки по отноше-нию к главным осям, можно найти составляющие Ov и tv полного напряжения, действующего на этой площадке. [c.426] С центрами соответственно в точках 0 (Оу, = (аз + а ), Ту = 0) и Оз (Ov = /2 (Oi + Оа), Tv = 0). [c.427] Длины радиусов могут не вычисляться, а находиться графически. Если заданы Oj, ад и Стд и / = os а и = os у, то построение осуществляется так, как показано на рис. 5.27, б. Для доказательства правомочности построения нужно убедиться в том, что O D = OgE = Гз- Предлагаем читателю выполнить это доказательство. [c.428] Вернуться к основной статье