ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Симплектическая структура и линейные гамильтоновы системы из "Лекции по классической динамике " Лемма О (следствие невырожденности). Если (fi. hn) — базис R2 , то матрица f, имеет ненулевой определитель. [c.236] СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. Линейное отображение z- =Sz называется каноническим (симплектическим), если оно сохраняет кососкалярное произведение, т. е. [c.236] Последние два условия равносильны (первые два условия означают, что матрицы А В и D — симметрические). [c.237] Очевидно, что Zt 2 = 2iZ2, так что векторы-образы с изменением X как будто скользят по гиперболе (при обычном повороте сохраняются окружности, при гиперболическом — гиперболы). [c.238] Доказать. Изобразить фазовый портрет во всех случаях. [c.239] Лемма 1. Матрица — симплектическая, т. е. фазовый поток состоит из канонических (симплектических) отображений. [c.239] Лемма 2. Пусть Х, — собственные числа матрицы /Н, а fi — ее собственные векторы (вообще говоря, комплексные). Тогда либо f , fy =0, либо A,i + lj = 0. [c.240] Таким образом, расположение ненулевых собственных чисел на комплексной плоскости С характеризуется разбиением их на пары (в случае чисто мнимых и действительных) и четверки (рис. 70). Всюду ниже будем считать, что все собственные числа матрицы различны, следовательно, ни одно не равно нулю. [c.240] Канонические преобразования призваны упрощать системы. [c.240] Доказательство проводится в три этапа. [c.241] Вернуться к основной статье