ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Колебания около состояния установившегося движения или около сингулярной точки в фазовом пространстве (QP). Преобразование Н к нормальной форме из "Классическая динамика " Рассмотрим динамическую систему с N степенями свободы и гамильтонианом Н (q, р), в который не входят некоторые из координат (игнорируемые координаты). Установившееся движение — это движение, в котором неигнорируемые координаты и соответствующие им импульсы постоянны. [c.378] Для ТОГО чтобы получить такое движение, должны удовлетворяться 2 N — М) уравнений, задавая подходящие значения 2N — М постоянным Q, р, Р). Таким образом, вообще говоря, можно ожидать, что мы найдем оо установившихся движений, где М — число игнорируемых координат. [c.379] Если система, находящаяся в установившемся движении, возмущена таким образом, что постоянные Ра не изменяются, то можно исследовать колебания около такого движения (105.3), линеаризированные с помощью предположения, что Q, Р) принимают значения, близкие к тем постоянным значениям, которые они имеют в невозмущенном установившемся движении. [c.379] Имея сформулированную таким образом проблему колебаний около состояния установившегося движения системы, обладающей игнорируемыми координатами, мы представим теперь ту же проблему другим способом, безотносительно к такому движению или к игнорируемым координатам. [c.379] Будем теперь исследовать траектории в пространстве (QP) вблизи сингулярной точки. Сравнивая (105.6) и (105.8), видим, что такое исследование есть в то же время исследование колебаний около состояния устойчивого движения для системы с игнорируемыми координатами. Такой подход имеет то преимущество, что мы входим сразу в существо дела. [c.380] Следующее обсуждение тесно связано с вопросами, рассмотренными в 103. Однако здесь мы будем употреблять скорее гамильтоновы методы, чем лагранжевы. В методе Лагранжа мы ограничены преобразованиями координат (д), а преобразование импульсов (р) является производным преобразованием. В методе Гамильтона, мы можем применять канонические преобразования (КП). [c.380] Сингулярные точки в пространстве (QP) инвариантны относительно КП. Уравнения (105.8) эквивалентны уравнению ЬН = О для любой вариации положения в пространстве (QP), а это последнее уравнение — инвариант, так как Н есть инвариант КП. [c.380] Для того чтобы определить природу движения, попытаемся разделить переменные в этих уравнениях сделаем это, применив КП, которое переводит матрицу Н в простую (нормальную) форму ). [c.381] Уиттекер [28], стр. 448—450 L а п с z о s С., [5], 20, 653—688 Зигель К., стр. 76—80, цит. соч. в 53. [c.381] Настоящее доказательство при.чожимо только к этому невырожденному случаю. Случай вырожденных корней заключен в рассмотрении устойчивости движения согласно исследованию Вейерштрасса методом контурного интегрирования Вейерштрасса, как это изложено у Уиттекера [28], стр. 220—228. [c.382] Легко видеть, что эта величина должна быть чисто мнимой и отсюда X тоже чисто мнимое. [c.385] Мы получили следуюш ий результат движение системы, имеющей однородный квадратичный гамильтониан Н, устойчиво, если Н положительно определенная функция ). [c.385] Вернуться к основной статье