ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Неконсервативные системы. Абсолютные интегральные инварианты в пространстве QP. Теорема Лиувилля из "Классическая динамика " Мы переходим к последнему пространству изображений — 27V-MepHOMy фазовому пространству QP, в котором координатами точки являются Qp, Рр. Вероятно, пространство QP наиболее знакомо физикам в связи с использованием его в статистической механике ). [c.333] В дальнейшем в этом параграфе мы будем рассматривать только консервативные системы, для которых функция Я имеет вид (96.2). [c.334] Сравнивая (86.6) и (96.1), видим, что динамика консервативной системы в пространстве QP с гамильтоновой функцией Н q, р) математически тождественна динамике в пространстве QTPH с функцией энергии й (х, у). Единственное отличие заключается в обозначениях. [c.335] Этот изоморфизм интересен потому, что он объединяет вместе противоположные подходы к гамильтоновой динамике. С одной стороны, динамика в пространстве QTPH имеет столь большую общность, какую только можно пожелать в настоящее время, причем как время t, так и гамильтониан Н входят в уравнения математически равноправно с q, р), так что теория вполне пригодна для применения в релятивистском случае. С другой стороны, динамика консервативной системы в QP охватывает те проблемы, которые являются наиболее известными в ньютоновой динамике и возникают из рассмотрения движения систем частиц и твердых тел. [c.335] Однако хотя динамика в пространстве QTPH и динамика консервативных систем в QP математически изоморфны, их физические интерпретации совершенно различны и целесообразно перевести теорию, развитую для QTPH, в форму, приложимую к динамике консервативных систем в QP. [c.335] В таблице на стр. 336 приведены отмеченные соответствия 1). [c.335] Различные производящие функции, выполняющие одно и то же преобразование, связаны уравнениями вида (88,19). [c.337] Кроме этого, мы можем уменьшить число уравнений на два с помощью интеграла энергии (96.13). [c.338] Это исследование в пространстве QP является менее общим, чем исследование, данное в 94 для пространства QTP, потому что в случае пространства QP время не подвергается преобразованию. О КП, сохраняющих время в QTPH, см. уравнения (88.26). [c.340] Покажем теперь, что если и (д, р, t) и v д, р, t) — две постоянные движения, то их скобки Пуассона [м, v] также являются постоянной движения. [c.340] Его значение не зависит от выбора параметров и А в D. [c.344] Этот результат имеет столь большое значение в статистической механике, что мы рассмотрим его с двух точек зрения. [c.345] Во-первых, теорема Лиувилля в той форме, в какой она доказана им ), на самом деле более обща, так как в ней можно не требовать ни четности пространства, ни канонической формы уравнений движения. [c.345] Возможен другой подход с помощью канонических преобразований (КП). Суть дела здесь состоит в том, что якобиан КП равен единице (ср. с (88.29)) это остается справедливым даже в том случае, если КП q, р) — q, р ) содержит t как параметр. Отсюда следуют два заключения. Во-первых, совершенно безотносительно к движению, видим, что интеграл /jv (98.11) есть удобное определение объема, так как объем, определенный таким образом, имеет одно и то же значение для всех координат (д, р) в пространстве QP, полученных из одной такой совокупности координат посредством КП ). Во-вторых, объем сохраняется при движении, потому что движение в соответствии с каноническими уравнениями состоит из бесконечно малого КП (ср. (90.4)). [c.346] Вернуться к основной статье