ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Гамильтонова двухточечная характеристическая или главная функция. Уравнение Гамильтона — Якоби из "Классическая динамика " Здесь Z,. — текущие координаты величины Хг — обычные постоянные, так как наша геометрия осуществляется в касательном пространстве 2л+1. Будем называть — поверхностью лагранжиана, а 5я — поверхностью гамильтониана. [c.232] Поверхность, нзаимно полярную с 5l, можно теперь найти, исключив из этих уравнений отношения z . .. /v+i-Однако сравнивая этот вывод с уравнениями (71.7), видим, что это — тот же путь, каким мы получили уравнение энергии Q = 0. Поверхностью, взаимно полярной с является поэтому поверхность Точно так же нахождение поверхности, взаимно полярной с iSh, даст Si . [c.233] Пусть Г — луч (или траектория), соединяющий точки В ж В. Определим двухточечную ) характеристическую, или главную, функцию как лагранжево или гамильтоново действие (они равны) от точки В до В вдоль этого луча. Обозначим ее через 8 В, В). Это — функция двух точек в пространстве QT. Она может не существовать для некоторого выбора двух точек, так же как может не существовать луч, соединяющий эти точки. Она может быть однозначной (две точки соединяют один луч) или многозначной (две точки соединяют несколько лучей). Но мы не будем сейчас касаться этих тонкостей. В случае многозначности будем выделять одно значение функции. [c.235] Мы будем рассматривать 5 как начальную точку, а В — как конечную. [c.237] Это — гамильтоновы уравнения в частных производных, уравнение (72.8) называется уравнением Гамильтона — Якоби 1). [c.238] Это есть несимметричная форма (координата t играет особую роль) общего симметричного уравнения (72.8). В этой форме оно главным образом и употребляется. [c.239] В связи с двухточечной характеристической функцией S x, х) имела место некоторая путаница. Якоби казалось, что в уравнениях (72.7) требуется слишком много, именно, чтобы одна функция удовлетворяла двум дифференциальным уравнениям в частных производных. Для того чтобы выяснить этот вопрос, рассмотрим рассуждения, которые определяют функцию S x, х). [c.239] Мы вовсе не будем касаться практических вычислений, которые приводят к формуле для этой функции. В этом смысле очень немногие динамические проблемы разрешимы . Поскольку рассматривается математическая структура динамики, то речь идет только об определении последовательности операций, которые должны иметь место. Поэтому в дальнейшем мы говорим о решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений только в смысле такой определенности и нахождения характеристической функции. [c.239] Функция S(x, х), построенная таким образом, удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных (72.7) (в которых Q нужно заменить на й, так как была введена только одна система координат). [c.240] Вернуться к основной статье