ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Определение функциональных связей путем сравнения размерностей из "Единицы физических величин и их размерности Изд.3 " Применение размерностей нс исчерпывается переводом единиц и проверкой правильности формул, В ряде случаев, если предварительно известно, какие физические величины участвуют в исследуемом процессе, можно путем сопоставления размерностей установить характер зависимости, которая связывает данные величины. Во многи.ч областях физики и смежных науках - теплотехнике, гидромеханике и др. - такой метод, получивший название анализа размерностей, нашел широкое распространение. [c.98] Особенно плодотворным он оказывается в тех случаях, когда нахождение искомой закономерности прямым путем либо встречает значительные математические трудности, либо требует знания таких деталей процесса, которые заранее но известны. По сути дела, анализ размерностей основывается на требовании независимости связи между физическими вели шнами от выбора единиц, что равносильно требованию совпадения размерностей в обеих частях уравнений. Позволяя в ряде случаев быстро установить характер искомой закономерности, анализ размерностей отнюдь не является всемогущим методом, и подчас его возможности оказываются весьма ограниченными. [c.98] Задача 1. На пружине подвешен груз массой т, вес которого уравновешивается силой натяжения пружины (рис. 2). Для удлинения пружины относительно положения равновесия на I требуется приложить силу Р, пропорциональную / (F = к1). Такая же по модулю, но обратная по направлению сила стремится вернуть груз в исходное положение. Если убрать растягивающую силу, груз через некоторое время г вернется к исходному положению. Определить время t в зависимости от I, т и к, где к —жесткость пружины. [c.99] Для решения задачи необходимо представить время как некоторую функцию известных величин I, т и к. Хотя в принципе эта функция может иметь различный вид. По поводу нее можно высказать некоторые определенные соображения. Предположим, что в состав этой функции входят какие-либо тригонометрические, показательные или другие неалгебраические функции. Как было сказано выше ( 2.1), аргументо.м этих последних могут быть только безразмерные величины. [c.99] Время оказывается не зависящим от удлинения I. [c.100] Точное решение задачи, основанное на применении законов механики, приводит к тому же уравнению (3.5), но с определенным коэффициентом, равным я/2. [c.100] Задача 2. В цилиндрическом сосуде площадью сечения 51 до уровня, расположенного на высоте Л от дна, налита идеальная (не обладающая вязкостью) жидкость плотностью р (рис. 3). В дне сосуда имеется отверстие площадью сечения 52- Определить время вытекания жидкости /. [c.101] Это уже представляет определенный интерес, так как показьшает, что время вытекания не зависит от плотности жидкости и обратно пропорционально корню квадратному из ускорения свободного падения. [c.102] Что касается коэффициента С, то, как и в задаче 1, анализ размерностей не дает возможности его определить. Расчет показывает, что этот коэффициент равен у/2. [c.102] Легко видеть, что по сравнению с первоначальным положением когда требовались специальные предположения, нам удалось добиться большей определенности решения задачи благодаря введению еще одной основной единицы. [c.103] Таким образом, 7- [h g. [c.105] Решение задачи интегрированием соответствующего дифференциального уравнения движения дает для С значение 2я. [c.105] Задача 4. На тело массой т действует постоянная сила F на пути h. Определить скорость, которую приобретет тело в конце пути. [c.105] Решение этой задачи на основе закона сохранения энергии дает, как известно. [c.106] Решение вновь требует дополнительных предположений, не вполне очевидных, несмотря на простоту самой задачи. Уравнения (3.38) совместны и удовлетворяются, если подставить значения показателей из (3.33). [c.108] Задача 5. Два бесконечно тонких проводника бесконечной длины расположены взаимно перпендикулярно на расстоянии а друг от друга (рис. 5). Проводники несут на себе равномерный заряд с линейной плотностью Т1 и Т2- Определить силу взаимодействия между проводниками ). [c.108] Уравнение размерностей показывает, что заряди масса частицы выпали из окончательной формулы не случайно. Этот вывод имеет более широкое значение. Из него следует, что при заданной конфигурации электрического поля траектория движения заряженной частицы определенного знака, начальная скорость которой равна нулю, не зависит от заряда и массы частицы. Этот вывод следует особенно подчеркнуть, так как нередко приходится слышать совершенно неверное утверждение, что силовая линия электрического поля якобы является траекторией движения заряженной частицы бесконечно малой массы. [c.111] Вернуться к основной статье