ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Мопер т ю и. Согласование различных законов природы, которые до сих пор казались несовместимыми (перевод В. И. Антроповой) из "Вариационные принципы механики " Вариационные принципы механики и связанный с ними комплекс физических идей и математических методов имеют актуальное значение как в теоретической механике, так и в различных научных и технических проблемах. Они находят применение в широком и все более расширяющемся круге вопросов теоретической физики, механики сплошных сред, теории упругости, строительной механики, теории колебаний и т. п. Большой интерес для исследователей и преподавателей, применяющих или излагающих вариационные принципы, представляет также сложная история возникновения и развития этих принципов. [c.5] Учитывая отсутствие соответствующих книг в нашей научной литературе, Издательство решило выпустить сборник основоположных работ по вариационным принципам, расположив их в основном в хронологическом порядке, чтобы читатель мог составить представление как о процессе формирования этих принципов, так и о смежных, непосредственно связанных с ними проблемах. [c.5] В сборник, кроме работ, которые по праву могут называться классическими, помещены также некоторые небольшие работы менее фундаментального значения, помогающие осветить существенные вопросы развития и смысла вариационных принципов механики. Некоторые документы, дополняющие картину и характеризующие подход к этой проблеме классиков механики, вынесены в приложение. [c.5] Огромная литература, которая существует по вариационным принципам, конечно, не могла быть даже и в малой степени охвачена в одном сборнике. Естественно, что для помещения в сборник отобраны прежде всего основные работы, а также работы, освещающие связанные с вариационными принципами проблемы теории групп, теории преобразований и т. п. Из работ, относящихся к применению вариационных принципов в физике, взяты те, которые имели важное значение в развитии физики и в то же время помогали уяснению физического смысла, значения и границ применимости этих принципов за пределами аналитической механики. Вопросы, связанные с применением вариационных принципов механики для исследований в области механики сплошных сред и многочисленных прикладных задач, должны быть рассмотрены особо. Не включены в сборник также работы, относящиеся к применению вариационных принципов механики в современных исследованиях по теории квантованных полей и т. п., так как эти работы освещены в ряде монографий и сборников основных статей, вышедших в самое последнее время. [c.5] Ученейший Декарт предложил закон преломления, который, как считают, согласуется с опытом, но, чтобы доказать его, он выдвинул постулат, по которому вообще необходимо было принять, что движение света в плотной среде происходит более легко и беспрепятственно, чем в редкой, что, как кажется, противоречит естественным фактам. [c.7] поскольку мы пытаемся вывести истинный закон преломления из противоположной аксиомы, а именно, что движение света происходит более легко и беспрепятственно в редкой, чем в плотной среде, мы прежде всего встречаемся с соотношением Декарта. Можно ли вообще ajiaqaloryl- 7то1с, т. е. без ложных умозаключений, прийти прямо противоположным путем к той же истине — это пусть рассмотрят и исследуют более тонкие и строгие математики. Мы же, оставив в стороне пустые умствования, полагаем, что лучше твердо владеть самой истиной, чем вдаваться в излишние и бесполезные споры. [c.7] Наше доказательство основано на одном постулате природа действует наиболее легкими и доступными путями [ ]. Мы полагаем, что именно так нужно выражать эту мысль, а не так, как это принято обычно говорить, что природа всегда действует по кратчайшим линиям. [c.7] Подобно тому, как Галилей Р], когда рассматривал движение тяжелых тел в природе, измерял отношения этого движения не столько расстоянием, сколько временем, мы также рассматриваем не кратчайшие расстояния или линии, а те, которые могут быть пройдены легче, удобнее и за более короткое время. [c.7] Исходя из этого положения, представим на рисунке первом две среды различной природы. Здесь мы имеем круг АНВМ, диаметр которого ANB разделяет эти две среды одну со стороны М, более редкую, другую, со стороны Н, более плотную от точки М к Н преломляются прямые MNH, MRH, пересекающие диаметр в точках N и R. [c.7] Согласно аксиоме или постулату, скорость движения вдоль MN в редкой среде будет больше, чел1 скорость его вдоль NH в плотной среде, а поскольку мы полагаем движение в каждой среде равномерным, отношение времени движения вдоль MN ко времени движения вдоль NH составляется, как известно, из отношения MN к NH и обратного отношения скорости вдоль NH к скорости вдоль MN. [c.7] если скорость по MN относится к скорости по NH так, как прямая MN относится к NJ, го время движения т NH относится ко времени движения по MN, как прямая JN относится к NH. [c.7] Отсюда следует, что время движения по прямьш МЫ и NN относится ко времени движения по прямым MR и RИ, как сумма JN и NN относится к сумме PR и NN. [c.8] Эта теорема не противоречит нашей геометрии, как это видно из следующего чисто геометричес-В кого рассуждения. [c.8] Пусть имеем круг ANBM, у которого диаметр АЫВ и центр На окружности круга берем любую точку М, проводим радиус МЫ и опускаем на диаметр перпендикуляр МО. Пусть будет также дано отношение ОЫ и так, чтобы ОЫ было больше А/ 5. Из точки 5 восстановим перпендикуляр 80, встречающийся с окружностью в точке Я, и от этой точки проведем к центру А радиус NN. Отсюда ОЫ относится к как радиус МЫ относится к прямой А у. Я утверждаю, что сумма прямых JЫ и NN будет наименьшей, то есть, если вэять любую точку N на полудиаметре ЫВ и провести прямые МЫ и / Я, то отношение ОЫ к будет равно отношению МЫ к ЫР сумма прямых РЫ и NN будет больше суммы прямых JЫ и NN. Чтобы это доказать, примем, что радиус МЫ относится к прямой ОЫ, как прямая NN к прямой N0, и ОЫ относится к N8, как N0 к ЫУ. [c.8] Из построения ясно, что прямая N0 меньше, чем прямая ЫЫ, так как прямая ОЫ меньше, чем радиус МЫ ясно также, что прямая ЫУ меньше, чем прямая ЫО, а прямая А 5 меньше, чем прямая ЫО. [c.8] Если это так, то, согласно Евклиду, квадрат прямой МЫ равен квадрату радиуса МЫ плюс квадрат прямой NN плюс удвоенное произведение ОЫ на А Р], но поскольку по построению МЫ относится к ОЫ, как NN к ЫО, произведение МЫ на N0 будет равно произведению ОЫ на ЫЫ, следовательно, удвоенное произведение МЫ на ЫО равно удвоенному произведению ОЫ на NN. Итак, квадрат прямой МЫ равен квадрату МЫ плюс квадрат ЫЫ плюс удвоенное произведение МЫ на ЫО. [c.8] Но квадрат прямой ЫЫ больше квадрата прямой ЫО, поскольку прямая ЫЫ больше прямой ЫО. Следовательно, квадрат прямой МЫ больше, чем квадрат прямой МЫ плюс квадрат прямой N0 плюс удвоенное произведение МЫ на ЫО. Но сумма квадратов МЫ и ЫО и удвоенного произведения МЫ на ЫО равна квадрату единой прямой, составленной из МЫ и ЫО. Следовательно, прямая МЫ больше суммы двух прямых МЫ и ЫО. [c.8] А поскольку из построения DN относится к N8, кшMN кНJ и как N0 к NV, то DN будет относиться к как сумма прямых MN, N0 к сумме прямых JN и N /. И точно так же DN относится к N8, как MR к ЯР. Следовательно, сумма прямых MN, N0 относится к сумме прямых JN, как прямая МЯ относится к ЯР. Однако прямая МЯ больше, чем сумма прямых MN, N0 следовательно, прямая РЯ больше суммы прямых JN, NV. [c.9] Остается доказать, что прямая ЯН больше, чем прямая НУ, ибо если это так, то будет установлено, что сумма прямых РЯ и ЯН больше, чем сумма прямых уж и NH. [c.9] В треугольнике NЯH, по Евклиду, квадрат ЯН равен сумме квадратов NH и N1 минус удвоенное произведение на NЯ. Но поскольку из построения радиус MN (или равный ему NH) относится к DN так, как относится NЯ к N0, DN относится к так, как N0 к NV, то равным образом HN будет относиться к так, как NЯ к NV. [c.9] Вернуться к основной статье