ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Доказательство теоремы Пуанкаре о кодьце из "Аналитическая динамика " При этих условиях движение системы происходит в области р, определяемой неравенством W ih. Будем рассматривать такие значения h, для которых область Р располагается внутри простой замкнутой выпуклой кривой а. [c.620] Основной интерес для нас представляет ограниченная задача трех тел, когда рассматривается движение планетоида относительно вращающихся осей ( 28.2). Для этой задачи существует интеграл требуемого типа, а именно интеграл (28.2.6), и W = —yU. Если —h yUs, то область W .h состоит частью из одной или двух внутренних областей, ограниченных снаружи замкнутыми выпуклыми кривыми, а частью из внешней области, ограниченной изнутри замкнутой выпуклой кривой (рис. 116л, Ъ). В каждом из этих случаев внутреннюю область можно взять в качестве области р. [c.621] Скорость частицы в точках области р по величине определяется формулой (30.11.1), что же касается направления скорости, то оно произвольно. Обозначим через г)5 угол, образуемый вектором скорости с осью Ох, и будем считать, что О С 2я. Тем самым каждой точке области р мы поставим в соответствие бесконечное множество элементов, понимая под этим термином совокупность величины вектора скорости и наклона этого вектора к оси Ох. В каждой точке граничной кривой а скорость равна нулю, так что точке этой кривой фактически соответствует один-едипственпый элемент. Это замечание мы используем ниже при геометрической интерпретации. [c.621] Прежде всего совершим топологическое отображение области р на область Р, представляющую собой внутренность круга, границей которого является окружность а — образ кривой а. Рассмотрим движение изображающей точки в преобразованной области Р (см. 21.2). Пусть М — точка области Р обозначим через М ее образ, полученный в результате инверсии относительно окружности а. В плоскости, перпендикулярной к плоскости Р, построим окружность Г на отрезке ММ как на диаметре. Всякому направлению траектории, проходящей через точку М (т. е. всякому элементу в точке М), поставим в соответствие определенную точку окружности Г. При этом, например, значение г = О будет соответствовать точке М, значение ij = л — точке М, а значения О ijj я отвечают точкам окружности Г, для которых Z 0. (Уравнением плоскости Р будет z = 0 через г)) обозначен угол наклона траектории в преобразованном движении к оси Ох.) Если точка М р, то ей соответствует бесконечно много точек если же М а, то одна точка. Каждому элементу соответствует одна точка пространства, и, обратно, каждой точке пространства соответствует один-един-ственный элемент. [c.621] Траекториям здесь поставлены в соответствие кривые С, образующие семейство х пространственных кривых через каждую точку пространства проходит одна и только одна такая кривая С. Заметим, что при изменении направления движения на обратное картина траекторий изменяется. Замкнутым кривым С соответствуют периодические орбиты. [c.621] Предположим, что имеется периодическая траектория G , устойчивая по первому приближению ( 23.1). Выберем единицу времени такой, чтобы период был равен 2л. Обозначим через замкнутую кривую семейства к, соответствующую траектории G , и построим поверхность S, натянутую на кривую Со участок этой поверхности, ограниченный кривой Сд, обозначим через А. Предположим, что область А односвязпая и является областью без контакта, т. е. ни одна кривая С не касается поверхности S в точках А (сравните с понятием отрезка без контакта в 20.3). [c.621] Возьмем точку Р в области А. Через эту точку проходит только одна кривая С. Будем двигаться вдоль этой кривой до нового пересечения с поверхностью А в точке Р эту точку назовем последующей точкой по отношению к р. Преобразование Т, переводящее точку Р в точку Р , представляет топологическое отображение области А на себя. [c.621] Преобразование Т обладает положительным интегральным инвариантом доказательство этого утверждения аналогично доказательству 22.17. Если точка Р совпадает с Р или с любой из других последующих точек Р , Р . . ., то кривая С оказывается замкнутой, а изображаемая ею траектория — периодической. [c.622] Рассмотрим теперь топологическое отображение области А на внутренность круга и, применяя полярные координаты, отобразим кривую С на окружность г = Ь, вдоль которой 0 = х. Преобразование Т переводит окружность г = Ь в себя, и при этом каждая точка окружности перемещается на угол 2я/(и + т). Такое преобразование имеет нечетное число непо-двиншых точек, каждой из которых соответствует периодическая орбита. [c.623] Из этих орбит по крайней мере одна устойчива по первому -приближению пусть это будет орбита, соответствующая неподвижной точке Д. Совершим еще одно топологическое отображение круга на себя такое, чтобы точка Pq перешла в центр круга, а точки окружности подверглись бы такому же преобразованию, что и прежде. В результате получим преобразование Т, которое оставляет центр круга неизменным, а границу его отображает на себя, причем все точки границы передвигаются против хода часовой стрелки на один и тот же угол. [c.624] Рассмотрим теперь действие этого преобразования на точки, лежащие в непосредственной близости от центра круга. [c.624] Если точка Р расположена вблизи от центра Pq, то при переходе от Р к последующей для нее точке Р переменная и возрастает на 2я, а 9 — на 2яр, или, поскольку 9 определено только но mod 2я, ее приращение может составлять 2л (р + п), где п — целое число. При этом, если значение п известно для какой-нибудь одной точки, то в силу непрерывности оно известно и для всех точек. [c.624] Таким образод , условия теоремы Пуанкаре (для случая, когда внутренний радиус кольца стремится к нулю) оказываются выполненными. Поэтому, если теорема верна и если существует одна устойчивая периодическая орбита Gq, то существует бесконечно много таких периодических орбит. [c.625] Если полосу разбить на прямоугольники линиями х = п п — целое число), то получится периодическая структура, так как конгруэнтные точки различных прямоугольников отвечают одной и той же точке кольца. [c.625] Докажем прежде всего, что преобразование Т имеет одну неподвижную точку. [c.625] Фактически мы имеем и, = 0 значение функции г) во всех точках L] равно л. Это является основным пунктом всего доказательства. [c.626] Это преобразование сохраняет площадь и не имеет неподвижной точки, оно переводит полосу О т/ 1 в полосу е т/ 1 + е. [c.626] Преобразование U переводит прямую в прямую Ki, задаваемую уравнением г/ = е прямую Ki оно переводит в кривую К2, нигде не пересекающую Zi, и т.д. (рис. 124). Полоса Sq между Lq и Ki отображается на полосу iSi между Ki и K-i, и т. д. Кривые Ki, К2, К3,. . . периодически повторяются в каждом единичном интервале по координате у, и площадь полосы Sr между прямыми х = О я х = i равна е. Площадь (в интервале Q ах . ) под кривой К г равна гг, так что для достаточно больших целых г кривая К,- должна иметь точки, расположенные над прямой Li. Пусть п — наименьшее целое число, обладающее таким свойством. Тогда можно указать точку ро на прямой Lq такую, что Z7Vo окажется либо на прямой Li, либо выше ее. [c.626] Изменение наклона хорды можно определить в два этапа следующим образом. На первом этапе нижний конец хорды фиксирован в точке р , а верхний конец q перемещается из положения Upo ь положение W pg. На втором этапе верхний конец хорды фиксирован в точке W Po, а нижний конец q перемещается из положения р в положение U Pq. На каждом из этих этапов приращение наклона хорды не превышает п, суммарное приращение поэтому не превышает 2я, так что число п может быть равно только нулю. Таким образом, для точек прямой Li р) — я, что и требовалось доказать. [c.627] Аналогичным образом, рассматривая обратное преобразование можно доказать, что изменение наклона хорды, соединяющей точки р и Т р при перемещении точки р от Lq до Li равно —я. Но изменение наклона хорды, проведенной из р в Тр, в точности равно изменению наклона хорды, проведенной из Тр в р. Мы пришли, таким образом, к противоречию, которое указывает, что предположение об отсутствии неподвижных точек неверно. [c.627] Вернуться к основной статье