ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Множество из "Аналитическая динамика " При Ь оо первый член правой части стремится к ф (А), а второй — к нулю. Таким образом, предел ф ( е) существует и ф Aq) = ф А). [c.443] В дальнейшем мы увидим, что при известных условиях справедливо и более сильное утверждение, а именно что величина ф Р) постоянна не только на траектории, но и во всей области Q. Это свойство инвариантных областей играет фундаментальную роль в статистической механике. Впервые оно было высказано в форме правдоподобной гипотезы в кинетической теории газов, где эргодическая теорема используется весьма широко. Нетрудно видеть, что это свойство (постоянство функции ф (Р) в области Q) не имеет места для уравнений Гамильтона в классической динамике Для того чтобы оно выполнялось, необходимо, чтобы система обладала некоторыми особыми свойствами, о которых речь будет ниже ( 22.15). [c.443] Начнем с простого случая, когда изображающая точка Р движется по окружности по направлению часовой стрелки с постоянной (единичной) угловой скоростью. 1) Если t изменяется непрерывно и в качестве области а берется дуга с углом раствора Р, то справедливость теоремы Пуанкаре (теоремы возвращения) очевидна. Далее, если х ( ) есть доля интервала времени от О до г, в течение которого изображающая точка находится в области а, то отношение % (Ь)/Ь, очевидно, стремится к пределу р/2я, и этот предел не зависит от положения начальной точки А на окружности. 2) Если мы имеем дискретную последовательность моментов времени г = О, т, 2т,. .. ( 22.7) и обозначим через V (п) число точек А, Ах, А2%, . , лежащих в области а, то отношение v (п)/п прп - -00 будет стремиться к тому же пределу (3/2л прп условии, что отношение т/2л есть число иррациональное. Действительно, при этом условии точки Л, Ах, А2х, , отстоящие на угловых расстояниях О, т, 2т,. . . от точки А, стремятся к равномерному распределению по окружности. Предел не зависит ни от положения точки А па окружности, ни от величины основного интервала т, если только X не является соизмеримым с 2п. [c.443] Следует отметить, однако, что в этом случае предел для различных характеристик имеет различные значения он не остается постоянным во всей области Q. [c.443] Рассмотрим величину .i (P), считая п целым числом. Требуется доказать, что эта величина стремится к некоторому пределу почти для всех Р. Предположим противное пусть имеется подмножество L множества Q, имеющее положительную меру тЬ и такое, что для точек Р L величина (Р) не стремится ни к какому пределу. Докажем сначала две следующие леммы. [c.444] Так как тЬ О, то тЬр О по крайней мере для одного р, скажем jD = д. В качестве множества К мы можем взять с а = д и р = Рд. [c.444] Вернуться к основной статье