ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость равновесия из "Аналитическая динамика " Символ R обозначает расстояние от точки (xi, Хг,. . ., Хт) ДО начала координат О в вещественном (евклидовом) пространстве (xi, Х2, ., х ). Если допустить комплексные значения х, то выражение для R следует взять в виде R — / р + I Х2 р+.. Хт р. Можно также в обоих случаях (вещественных и комплексных х) взять вместо R функцию R, равную х + + I Х2 1+.. . + 1 Хт - в данном случае подходят оба варианта, ибо величина R мала в том и только в том случае, если мала величина R, и R = О тогда и только тогда, когда R = 0. [c.419] Определение устойчивости и другие связанные с этим определения аналогичны приведенным в 19.5 для рассмотренного там частного случая. Будем обозначать через R (t) значение R в точке (xj, Х2, . ., Хт) в момент t (иными словами, R (t) будет обозначать расстояние изображающей точки от точки О в момент t). [c.419] Равновесие называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и если, кроме того, существует положительное число х такое, что если R (0) С к, то к (t) О при f - -f оо. [c.419] Неустойчивость означает отсутствие устойчивости. Иными словами, равновесие в точке О неустойчиво, если существует положительное число х такое, что можно указать характеристики, начинающиеся как угодно близко от точки О и такие, что для некоторого положительного значения t выполняется неравенство R t) у.. [c.419] В случае, когда матрица А может быть приведена к диагональному виду, очевидно, что условия устойчивости сохраняют форму, данную в 19.5. Если собственные значения матрицы А имеют вещественные части отрицательные и нулевые, то равновесие устойчиво. Если все вещественные части собственных значений отрицательны, то равновесие устойчиво асимптотически. Если хотя бы одно собственное значение имеет положительную вещественную часть, то равновесие неустойчиво. [c.420] IX мы рассмотрели несколько с иной точки зрения классическую задачу о малых колебаниях системы около точки д-нространства, в которой потенциальная энергия V минимальна. В свете изложеняой выше теории эта задача относится к случаю, когда т = 2п, матрица может быть диагонализирована, собственные значения суть чисто мнимые числа + ipi, +ip2, , и равновесие устойчиво. [c.420] Однако иногда исследование устойчивости для случая пг 2 приводит к результатам, отличным от случая т = 2. Предполоншм, что матрицу А нельзя диагонализовать (это имеет место тогда, когда среди собственных значений есть кратные и элементарные делители не являются простыми) при этом система может оказаться неустойчивой, если среди кратных собственных значений будет хотя бы одно чисто мнимое, даже если все остальные собственные значения имеют отрицательные или нулевые вещественные части. Действительно, при этих условиях в формулах для х могут появиться члены os pi и sin рг. Формальное доказательство мы отложим до 23.3, а здесь ограничимся рассмотрением простого примера. [c.420] Вернуться к основной статье