ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Тлава XX. Системы с одной степенью свободы. Циклические характеристики из "Аналитическая динамика " Рассмотрим характер движения в различных случаях. [c.365] Таким образом, если Xi i k2 i0, то все положительные полухарактеристики входят в точку О, из них две (или, точнее, две системы) входят в эту точку вдоль оси ц,. а остальные — вдоль оси v (рис. 75). (Если перейти к первоначальным переменным (х,у), тЪ направления, по которым кривые входят в точку О, уже не будут составлять прямого угла.) Особенность такого тина называют устойчивым узлом. Если Хг О, мы имеем неустойчивый узел-, в этом случае в то Ёку О входят отрицательные полухарактеристики. [c.366] И все положительные полухарактеристики входят в точку О. Эта точка снова оказывается устойчивым узлом, но на этот раз, в отличие от случая 1а), положительные полухарактеристики входят в точку О по всевозможным направлениям (рис. 76). Если Xi О, то получаем неустойчивый узел. Особенность этого типа редко встречается в практических задачах. [c.366] MOHiHO утверждать, что если собственные значения вещественны и отрицательны, то особая точка является устойчивым узлом, если же эти значения вещественны и положительны, то особая точка является неустойчивым узлом. [c.367] но не входят в нее. Кривые имеют форму спиралей (логарифмических спиралей, если координаты прямоугольные), закручивающихся около точки О в положительном направлении, если Р О (рис. 79). [c.368] Особенность этого типа называется спиральной точкой или фокусом. Фокус устойчив, если а - 0. Если а О, то получаем неустойчивый фокус в этом случае к точке О приближаются отрицательные полухарактеристики г — О при t —оо. [c.368] В плоскости UV траектории представляют собой окружности, а в плоскости ху — эллипсы. Мы имеем здесь исключительный случай, когда все траектории являются замкнутыми и, следовательно, все орбиты периодические. Особенность такого типа называется вихревой точкой или центром. [c.369] Особые точки поля, или точки равновесия, представляют собой те точки, в которых изображающая точка может находиться в покое. Продолжим исследование устойчивости системы, которое мы начали в гл. IX. [c.370] Дадим строгое определение устойчивости равновесие является устойчивым, если для любого е О существует положительное число х = х (е) такое, что если г (0) к, то г (t) е при t О ). [c.370] В этом определении не указывается точная величина х (е) если считать ее наибольшей из возможных, то х (е) будет монотонной функцией от е и X (е) О вместе с е. Если равновесие в точке О устойчиво по отношению к любому достаточно малому х, то существует положительное число е такое, что при г (0) С X имеет место неравенство г (i) е при i - 0. [c.370] В некоторых приведенных выше примерах рассматривалось более сильное условие, нежели условие устойчивости, а именно, чтобы траектории, начинающиеся вблизи от точки О, приближались к этой точке при этом движение системы затухало и изображающая точка стремилась к состоянию покоя в особой точке. В подобных случаях говорят об асимптотической устойчивости. Равновесие называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво в обычном смысле и если, кроме того, существует положительное число X такое, что если г (0) х, то г (t) О при t оо. [c.371] Неустойчивссть означает отсутствие устойчивости. Следовательно, равновесие в точке О неустойчиво тогда и только тогда, когда существует положительное число X такое, что можно указать траекторию, начинающуюся в произвольной близости от точки О, такую, что для некоторых положительных значений t выполняется неравенство г t) х. [c.371] Заметим, что это определение неустойчивости не требует, чтобы г ) х для всех достаточно больших значений t или даже для некоторых произвольно больших t, хотя во многих конкретных примерах то или иное из этих условий обычно выполняется. [c.371] Все это относится к случаю линейного приближения, поэтому возникает естественный вопрос можно ли судить об устойчивости по результатам исследования линейного приближения Как станет видно из дальнейшего, в рассматриваемом случае, когда /га = 2, это можно сделать, за исключением случая вихревой точки, когда имеется устойчивость в линейном приближении. В последнем случае исследование точных уравнений может показать как устойчивость, так и неустойчивость ). [c.371] Здесь ad — Ьс фО ж г1г -а л 1гО вместе с г. [c.372] Поле Fq мы исследовали в 19.4 выясним теперь, в какой степени движение в окрестности точки О в поле F отличается от движения в окрестности этой точки в поле Fo- Однако теперь, в отличие от поля д, мы ограничимся характеристиками, начинающимися вблизи точки О. [c.372] Как мы увидим, движение в окрестности узла, седла или фокуса подобно соответствующему движению для поля Fq. Исключение составляет вихревая точка. В этом случае линейных членов недостаточно, чтобы решить вопрос об устойчивости. Это является несколько неожиданным, в особенности если учесть, что сюда относится задача о малых колебаниях (гл. IX). Однако в случае малых колебаний мы располагаем некоторыми дополнительными данными, получаемыми из уравнения энергии, факт устойчивости мы знаем заранее, и линейная теория в этом случае дает хорошее приближение к действительному движению. Но в общем случае оснований для такого рода утверждений нет. [c.372] Вектор (1, 1 представляет собственный вектор матрицы А. Таким образом, если собственные значения и Яг вещественны и различны, то могут существовать лишь два направления (или четыре, если различать положительные и отрицательные), по которым траектории входят в точку О- если же собственные значения комплексно-сопряженные, то ни одна траектория не может входить в точку О. [c.373] Рассмотрим теперь движение в окрестности особых точек различных типов. [c.373] Здесь мы вместо и, v ввели новые переменные х, у и г/г и х г Рассмотрим более подробно случай С Яг 0. [c.373] Вернуться к основной статье