ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Риск и полезность из "Системы человек-машина Модели обработки информации, управления и принятия решений человеком-оператором " Критерием выбора в условиях определенности является просто выбор альтернативы, которая имеет наиболее предпочтительный исход, т. е. исход с наибольшей полезностью. Но совершенно не очевидно, какой критерий использовать для выбора в условиях риска. В действительности критерий зависит от того, что человек хочет выполнить. Например, если человек настроен пессимистически, он может захотеть выбрать альтернативу, минимизиру-юш,ую наихудшее из могущего произойти, т. е. альтернативу с наименьшим плохим исходом среди всех возможных состояний, хотя такой исход и мало вероятен. Оптимист же может захотеть выбрать альтернативу, делающую возможным наибольший выигрыш. Подобные критерии, в которых не используются вероятности состояний, чаще связаны с принятием решений в условиях неопределенности и с играми в дальнейшем они будут рассмотрены более подробно. Старейшим и наиболее распространенным нормативным критерием для случая, когда допускается наличие распределения вероятностей на множестве состояний, является выбор альтернативы, которая максимизирует ожидаемую полезность возможных следствий. [c.301] Смешанные исходы и ожидаемая полезность. Рассмотренное ранее понятие полезности может быть расширено и приспособлено к принятию решений в условиях риска, если множество исходов С расширяется, включая в себя все вероятностные смеси первоначальных чистых исходов, и если вводится правило, по которому для таких смешанных исходов определяются значения полезности. Вероятностная смесь двух исходов х и у есть исход, состоящий из получения исхода х с вероятностью р, или, в противном случае, получения исхода у. Таким образом, смешанный исход подобен лотерейному билету. Будем представлять смешанный исход обозначением [рх, (1 — р) /]. [c.301] Результатом введения математического ожидания полезности является то, что все элементы множества следствий, включая вероятностные смеси, имеют слабую упорядоченность по предпочтению, т. е. каждому из элементов либо отдается предпочтение, либо он считается безразличным по отношению к любому другому элементу. Альтернативным допущением является предположение о существовании указанной упорядоченности и некоторых правил предпочтения для смешанных исходов, из которого можно вывести ожидаемую полезность. Эта Идея впервые была сформулирована фон Нейманом и Моргенштерном 194] тем, кто придерживается этого метода, удается избежать целого ряда трудностей, возникающих в количественной теории полезности. [c.302] Другими словами, любой чистый исход предпочитается любому смешанному, который состоит из него самого и другого исхода с меньшим предпочтением. [c.302] Второе следствие. Если хРу и уРг, то существует О р 1, для которого [рх, (1 — р) г] 1у. [c.302] Это означает, что для любых трех исходов, из которых никакие два не являются безразличными, существует смешанный исход, состоящий из наиболее и наименее предпочтительных исходов и являющийся безразличным по отношению к оставшемуся исходу. [c.302] Первое утверждение очевидно предсказывает, что человек никогда не станет рисковать гарантированным выигрышем, если у него не будет шанса получить еще больше. Однако в действительности некоторые люди предпочитают риск. Трудности возникают из-за предположения, что исход х остается неизменным независимо от того, получен ли он как гарантированный выигрыш или в результате решения, связанного с риском. [c.302] Второе утверждение критиковалось как описательное на том основании, что хотя с точки зрения предпочтения один цент находится между одним долларом и смертью, мало кто подсчитал бы равнозначными гарантированное получение одного цента и любое пари, имеющее в качестве двух возможных исходов доллар или смерть. Чем ближе вероятности или полезности к экстремальным значениям, тем больше вероятность проявления аномального поведения. [c.302] Другим методом определения полезности является фиксация р и изменение значения Ь до возникновения равнозначности. При любом из этих методов точки на кривой полезности, соответствующие физическим единицам (доллары, галлоны и т. д.), могут быть найдены путем последовательного использования уже определенных величин. [c.303] Полезность в азартных играх и страховании. Наиболее ранние математические исследования решений в условиях риска были проведены при анализе азартных игр. Понятие полезности было введено в стремлении объяснить парадоксы, возникающие при определении справедливых ставок и цены игры. [c.303] Легко представить себе игру, повторяющуюся много раз, —-это свойство азартных игр даже приобрело печальную известность, поскольку они могут войти в привычку — так что частотный подход к вероятности является вполне подходящим. Следовательно, справедливой ценой игры естественно считать ее математическое ожидание, т. е. среднее значение того, что нужно заплатить при большом числе повторений игры. Безусловно, кроме математического ожидания существуют и другие аспекты азартных игр, которые могут повлиять на определение игроком конкретного значения ставки. Большинство людей не согласится играть на все свои сбережения по системе вдвое больше или ничего , хотя такая игра имеет нулевое математическое ожидание. Но даже если предположить, что игрок никогда не теряет все, иначе говоря, может продолжать игру неограниченно долго, сохраняется возможность парадоксальных ситуаций. [c.303] Таким образом человек, казалось бы, должен согласиться заплатить любые деньги, чтобы сыграть в эту игру. Нелепость этого результата очевидна. Вероятно трудно найти человека, пожелавшего бы заплатить даже 100 долларов. [c.304] Следовательно, при таком определении ожидания полезность для Петербургской игры является конечной, а значит, конечным является и количество соответствующих ей долларов. Таким образом, парадокс разрешается, но не полностью. По существу парадокс заключается в том, что денежный выигрыш возрастает по мере увеличения длительности игры с такой скоростью, которая компенсирует уменьшение вероятности продолжения игры. Следовательно, для любой неограниченной функции полезности денег можно придумать игру, которая будет иметь бесконечное математическое ожидание полезности и поэтому приводить к неограниченной цене игры. [c.304] Полностью парадокс может быть разрешен путем введения эффектов насыщения различных типов например, можно предположить, что полезность не возрастает при добавлении денег сверх определенной суммы, что достаточно малые вероятности неотличимы от нуля или что продолжительность жизни человека, т. е. время игры, или богатство, имеющееся во всем мире, устанавливают практические пределы изменения величин. [c.304] Аналогичные соображения применимы при определении рациональных ставок в азартных играх. Хотя банк имеет безусловное преимущество, благодаря которому он и дает прибыль, однако игроки, приобретают возможность получать очень большие выигрыши. Если выигрыш достаточно большой суммы денег имеет значение полезности, непропорциональное величине этой суммы, как это может быть, например, когда человеку требуется большое минимальное капиталовложение для достижения важной для него цели, то неизбежный средний проигрыш, выплачиваемый банку , может быть вполне приемлем для игрока. Это обстоятельство может быть отражено путем задания полезности денег в виде функции, растущей быстрее своего аргумента (в противоположность предположению Бернулли). [c.305] На рис. 18.1 показана кривая гипотетической функции полезности денег, которая является приемлемой как для азартных игр, так и для страхования и для которой существует конечная цена участия в любой Петербургской игре . [c.305] Вернуться к основной статье