ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Краткий обзор и оценка различных критериев устойчивости из "Вычислительная гидродинамика " Выше были приведены примеры трех различных методов анализа устойчивости метод дискретных возмущений, метод фон Неймана и метод Хёрта. В методе Хёрта использовался критерий Куранта — Фридрихса — Леви [1928] для гиперболических систем. Известны еще по меньшей мере три более или менее популярных метода, а также ряд других менее популярных. Ограниченность решения разностных уравнений можно непосредственно проверить при помощи критерия Фридрихса о положительности коэффициентов (см. Рихтмайер и Мортон [1967, с. 22] и Хан [1958]), а также при помощи энергетических методов ) Келлера и Лакса (см. Рихтмайер и Мортон [1967, с. 23 и далее]). На практике эти методы оказываются применимыми только для простейших разностных схем дифференциальных уравнений. Подобно этим двум методам в методе Эдди [1949] также рассматриваются непосредственно свойства множителя перехода для конечно-разностных уравнений, а не дискретные фурье-компоненты. Оказывается, что в простых случаях, рассмотренных в работе Эдди [1949], этот метод дает результаты, совпадающие с результатами метода фон Неймана, но он сложнее в приложениях и не используется в открытой литературе. [c.77] Таким образом, видно, что понятие устойчивости не определяется универсально даже для линейных систем. Франкел [1956] избегал попыток дать точное определение устойчивости. Рихтмайер [1963] показал, что понятие устойчивости зависит от выбора нормы в функциональном пространстве зависимого переменного и что использование анализа Фурье, как в методе фон Неймана, предполагает использование 2 или среднеквадратичной нормы, которая отчасти произвольна. Для ознакомления с иными определениями устойчивости читатель может обратиться к книге Рихтмайера и Мортона [1967, с. 104]. [c.79] Понятие устойчивости непосредственно связано с понятиями аппроксимации и сходимости ). Конечно-разностный аналог аппроксимирует дифференциальное уравнение, если при Ах - -0, А О конечно-разностное уравнение стремится к дифференциальному уравнению в частных производных. Хотя при выводе конечно-разностных уравнений при помощи разложений в ряды Тейлора может показаться, что это положение выполняется автоматически, на самом деле это не так здесь могут потребоваться иные ограничения для относительной скорости сходимости при уменьшении Ад и А (см. разд. 3.1.7). Конечно-разностное уравнение сходится, если при Ал - 0, А - О решение конечно-разностного уравнения стремится к решению дифференциального уравнения в. частных производных. Два очевидных необходимых условия такой сходимости состоят в том, что ко-нечно-разностное уравнение устойчиво (в некотором смысле) и аппроксимирует соответствующее дифференциальное уравнение. [c.79] Теорема эквивалентности Лакса, безусловно, является важной, но, к сожалению, ее значимость слишком переоценивается. В частности, некоторые авторы заключение о сходимости нелинейных конечно-разностных уравнений (отчаявшись, по-видимому, доказать ее иначе) основывают на теореме эквивалентности Лакса для линейных систем. Несмотря на то что изучение линейных систем полезно для понимания поведения нелинейных систем, очевидно, что теорему эквивалентности Лакса нельзя непосредственно применять к нелинейным уравнениям. Один факт возможной неединственности решений нелинейных уравнений, рассмотренный в гл. 1, должен был бы предостеречь от такого неправильного использования этой теоремы. Применение теоремы Лакса некорректно даже для линейных систем, если устойчивость определяется не в норме 2. [c.80] Точный критерий устойчивости в действительности не требуется с математической точки зрения. При исследовании нелинейных уравнений Хикс [1969] предлагает миновать вопросы, связанные с критериями устойчивости, и переходить непосредственно к сути дела, а именно к обеспечению сходимости разностного решения (Лаке и Рихтмайер [1956]). Главное состоит в том, что решение конечно-разностного уравнения должно сходиться к решению дифференциального уравнения в частных производных, а определение устойчивости представляет уже вторичный интерес. В свете сказанного теорема эквивалентности Лакса может применяться для непосредственного исследования сходимости при условии, что устойчивость определена таким образом, что оба эти понятия являются эквивалентными. [c.80] Расчетные точки сетки просматриваются одна за другой, чтобы установить, где имеют место наиболее жесткие ограничения, накладываемые критериями устойчивости, а затем из всех максимально допустимых в каждой точке выбирается наименьший шаг At и он принимается для всех точек сетки. На практике полученное таким образом допустимое значение максимального шага по времени обычно берут с коэффициентом запаса 0.8 -i--f- 0.9. На ранней стадии расчета, когда градиенты по времени велики, может потребоваться уменьшение этого коэффициента (см., например, Торранс [1968]). [c.81] Анализ устойчивости при помощи метода дискретных возмущений менее надежен. По сравнению с систематичным и формализованным методом фон Неймана успех применения этого метода является делом удачи. Для схемы с разностями против потока он приводит к тому же результату, что и метод фон Неймана (см. последние три упражнения). Дополнительное требование об отсутствии осцилляций, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени (которое, впрочем, не является очевидным требованием устойчивости в смысле ограниченности решения), также приводит в этом методе к результатам, совпадающим с результатами метода фон Неймана для схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной, но при существенно меньших затратах труда. Однако совсем не очевидно, что этот критерий дает правильные результаты для более сложных схем, поэтому в настоящее время его применимость в общем случае находится под вопросом. Тем не менее с помощью метода дискретных возмущений можно исследовать устойчивость в граничных и во внутренних точках в тех случаях, когда метод фон Неймана оказывается непригодным. [c.82] все три рассмотренных метода анализа устойчивости дают полезную информацию. По-прежнему наиболее широко используется метод фон Неймана, но модифицированный метод Уорминга и Хьетта оказывается даже более полезным. Однако ни один из этих методов не является полностью адекватным. Если целью является получение численных решений, а не просто анализ численных методов самих по себе, то необходимо обращаться к численному эксперименту, имея в виду, что все или почти все методы исследования устойчивости являются ключом к выяснению практической устойчивости. [c.82] Проводимых расчетах, а не на каких-либо абстракциях. Это дает возможность использовать данный метод при постановке и анализе граничных условий и при определении свойства транспортивности (см. разд. 3.1.9). Метод фон Неймана дает информацию не только о затухании возмущений (т. е. об устойчивости), но и о фазовых соотношениях для конечно-разностных уравнений и о получающихся дисперсионных ошибках (см. разд. 3.1.13). Метод Хёрта также дает информацию о дисперсионных ошибках и о поведении конечно-разностных уравнений, связанном с эффектом искусственной вязкости . Таким образом, все три рассмотренных метода исследования устойчивости находят свое применение и будут использоваться в следующих разделах этой книги. [c.83] Вернуться к основной статье