ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Предварительные замечания об аппроксимации, сходимости и устойчивости решений из "Вычислительная гидродинамика " Математические основы вопросов сходимости и устойчивости численных схем хорошо развиты только для линейных систем. Результаты линейной теории используются в виде наводящих соображений для нелинейных задач, а их применимость проверяется затем численными экспериментами. [c.26] Эта концепция более тонкая, чем может показаться с первого взгляда. Она является не просто перефразировкой ньютоновского определения производной под пределом здесь понимается предел всего решения диффер-енциального уравнения, а не просто его отдельных членов (производных). Последнее свойство называется аппроксимацией (Лаке и Рихтмайер [1956]). Например, конечно-разностный аналог дифференциального уравнения может состоять из конечных разностей, каждая из которых аппроксимирует соответствующий член дифференциального уравнения, но в целом этот аналог может быть неустойчивым и, следовательно, не сходящимся. Кроме того, здесь не принимается во внимание проблема критерия практической сходимости. [c.27] О Брайен, Хаймен и Каплан [1950], а также-Эдди [1949] определяют устойчивость исходя из роста или затухания ошибок округления. Лаке и Рихтмайер [1956] дают более общее определение устойчивости, устанавливая границу, до которой может возрастать любая компонента начальных данных в процессе численного расчета. Фундаментальную роль здесь играет теорема Лакса. Она устанавливает, что для системы линейных уравнений наличие устойчивости является необходимым и достаточным условием сходимости конечно-разностной схемы, аппроксимирующей систему дифференциальных уравнений. [c.27] Критерий устойчивости фон Неймана (Чарни с соавторами [1950], О Браейн с соавторами [1950]) требует, чтобы наибольшее собственное значение матрицы перехода итерационной схемы было меньше, чем единица минус члены порядка ошибки аппроксимации. Лаке и Рихтмайер [1956] показали, что это условие является достаточным для устойчивости линейной системы с постоянными коэффициентами и что в случае, когда матрица перехода удовлетворяет одному из трех наборов свойств, выполнение этого критерия является достаточным также для сходимости. Эти и другие вопросы, связанные с устойчивостью, обсуждаются в разд. 3.1 и в монографии Рихтмайера и Мортона [1967]. [c.27] Еще важнее то обстоятельство, что само определение устойчивости является неадекватным. Лилли [1965] показал, что применение схемы чехарда относительно средней точки к модельному уравнению приводит к осцилляциям, не имеющим ничего общего с правильным рещением. Использованное при этом уравнение соответствовало уравнению переноса вихря в несжимаемой жидкости в предельном случае бесконечно большого числа Рейнольдса. [c.28] Автор настоящей книги установил, что и для малых чисел Рейнольдса при достижении стационарного состояния продолжают существовать осцилляции, хотя и меньшей амплитуды. Эти осцилляции нам хотелось бы назвать численной неустойчивостью, а между тем по общепринятым определениям, основанным на росте или ограниченности ошибки, эти результаты являются устойчивыми . Кроме того, поскольку данные результаты не колеблются около правильного решения, мы не можем с уверенностью сказать, что правильное решение будет достигнуто при Дл , Д - 0. Все же мы знаем, что при уменьше-НИИ числа Рейнольдса мы приближаемся к правильному реше--1 ию и, таким о азом, при малых, но отличных от нуля числах Рейнольдса можно приблизиться к правильному решению до-статочно близко для целей практики. Итак, результаты чис-ленного решения могут быть не сходящимися в математическом смысле, но сходящимися в практическом смысле. [c.28] в настоящее время ни в одном исследовании не учитывается влияние на решение математически не обоснованных граничных условий, которые используются в различных схемах на выходной границе. Эдди [1949], а несколько позднее и некоторые другие авторы рассмотрели влияние на устойчивость градиентных граничных условий. Очень часто дестабилизирующее влияние граничных условий имеет первостепенное значение. [c.28] Из сказанного выше ясно, что изящные математические исследования и определения устойчивости для численных схем не должны рассматриваться как окончательные результаты, а должны только служить разумной базой и наводящими соображениями для численного экспериментирования. В настоящей книге будет проводиться именно такая точка зрения. [c.28] Вернуться к основной статье