ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача о параметрическом резонансе. Линейные гамильтоновы системы, содержащие малый параметр из "Теоретическая механика " При = О система уравнений (3) имеет постоянные коэффициенты. Как установлено в п. 242, при наличии хотя бы одного корня характеристического уравнения (5) с отличной от нуля вещественной частью система (3) неустойчива. В этом случае уравнение (14) при = О имеет хотя бы один корень, модуль которого больше единицы. Ввиду непрерывности мультипликаторов относительно е характеристическое уравнение (14) при достаточно малых е также имеет корень, модуль которого превосходит единицу, и, следовательно, система (3) при достаточно малых неустойчива. Как видим, в этом случае задача о параметрическом резонансе проста и неинтересна. [c.551] Пусть теперь при = О характеристическое уравнение (5) системы (3) имеет только чисто мнимые корни iak к = 2. п). Тогда уравнение (14) при = О имеет только такие корни (мультипликаторы), модули которых равны единице. Изучим поведение мультипликаторов при малых , отличных от нуля. [c.551] В силу непрерывности мультипликаторов, они останутся некратными и при достаточно малых , отличных от нуля. Кроме того, при достаточно малых мультипликаторы не могут иметь модулей, больших единицы. Этот важный вывод является простым следствием теоремы Ляпунова-Пуанкаре о характеристическом уравнении (14) системы (3) (п. 244). Согласно этой теореме, мультипликаторы расположены симметрично относительно единичной окружности. При малых е мультипликаторы не могут сойти с окружности, не нарушив указанной симметрии. [c.551] Действительно, рассмотрим для наглядности случай п = 2. Характеристическое уравнение (14) будет уравнением четвертого порядка. Пусть pj (j = 1, 2, 3, 4) — его корни при = 0. Будем изображать их на комплексной плоскости р (рис. 177, а). Пусть при малых е один из корней, например pi, сошел с окружности и стал по модулю больше единицы. Из-за вещественности коэффициентов уравнения (14) комплексно сопряженный корень р с необходимостью сместился бы в точку, симметричную относительно вещественной оси. А так как число всех корней равно четырем и смещения корней р2, р2 при малых е малы, то у сместившегося корня pi не оказалось бы обратного по величине, что противоречит теореме Ляпунова-Пуанкаре. [c.552] Таким образом, если при = О кратные мультипликаторы отсутствуют или, что то же, выполняются условия (28), то система (3) при достаточно малых значениях е устойчива. [c.552] Если же при = О существуют кратные мультипликаторы, расположенные в некоторой точке А единичной окруж ности, то при е О они могут, вообще говоря, сойти с окружности. При этом они могут расположиться как изображено на рис. 177, б, и симметрия мультипликаторов относительно единичной окружности не будет нарушена. Но смещение мультипликаторов с единичной окружности происходит не всегда, и, следовательно, в случае кратных мультипликаторов система не обязательно неустойчива при е 0. Рассмотрим этот вопрос подробнее. [c.552] Сформулируем без доказательства следующее утверждение. [c.553] Иными словами, знак минус в соотношениях (28) можно опустить, а при выполнении хотя бы одного из равенств (30) всегда можно так подобрать функции в (29), что система будет неустойчива. [c.553] Вернуться к основной статье