ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость линейных гамильтоновых систем с постоянными коэффициентами из "Теоретическая механика " В системе (3) Н — вещественная симметрическая матрица порядка 2п. Она либо постоянна, либо является непрерывной 2тг-периодической по t. [c.544] Как показано в п. 189, многочлен р(Л) — четная функция Л. Поэтому если уравнение (5) имеет корень X = а с отличной от нуля вещественной частью, то система (3) неустойчива, так как либо сам этот корень, либо противоположный ему по знаку корень Л = —а имеет положительную вещественную часть. Согласно теореме об устойчивости по первому приближению (п. 237), в этом случае неустойчива и полная нелинейная система уравнений возмущенного движения (1). [c.544] Таким образом, для устойчивости системы (3) необходимо, чтобы корни ее характеристического уравнения (5) были чисто мнимыми. Это условие будет и достаточным, если дополнительно потребовать, чтобы матрица JH приводилась к диагональной форме. [c.544] Таким образом, матрица Y( ) 2тг-периодична, а из (11) следует, что она непрерывно дифференцируема. Из (11) следует также, что фундаментальная матрица решений Х( ) представима в виде (7). Теорема Флоке доказана. [c.545] Теорема. Линейная система (6) с непрерывной периодической матрицей A t) приводима. [c.546] Из формулы (17) видно, что характеристические показатели суть корни характеристического уравнения преобразованной системы. [c.547] что задачи об устойчивости систем (6) и (17) эквивалентны. Поэтому система (6) устойчива тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы принадлежат замкнутому единичному кругу р 1, причем в случае существования кратных мультипликаторов, лежащих на окружности р = 1, матрица Х 2тг) приводится к диагональной форме. [c.547] Вернуться к основной статье