ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Влияние гироскопических и диссипативных сил на неустойчивое равновесие из "Теоретическая механика " Величины Л Пуанкаре предложил называть коэффициентами устойчивости. Если, как в п. 229, функция (3) определенно-положительна, то все величины Л положительны и положение равновесия устойчиво. Если же хотя бы одна из величин Л отрицательна, то положение равновесия неустойчиво . Число отрицательных коэффициентов устойчивости называется степенью неустойчивости. В дальнейшем важна будет не сама степень неустойчивости, а ее четность или нечетность. Пусть С — матрица квадратичной формы (3). Тогда det С = Л1Л2. .. Отсюда следует, что если det С О, то степень неустойчивости четная (или равняется нулю), а если det С О, то степень неустойчивости нечетная. [c.538] Теорема 1. Если среди коэффициентов устойчивости хотя бы один является отрицательным, то изолированное положение равновесия не может быть стабилизировано диссипативными силами с полной диссипацией. [c.538] Приращение АУ на любом конечном интервале времени положительно это показывается совершенно аналогично тому, как показана отрицательность АУ в теореме предыдущего пункта. Далее, так как среди величин Л, есть хотя бы одна отрицательная, то в любой сколь угодно малой окрестности начала координат 2п-мерного пространства состояний qi Qi (i = 1, 2. п) существует область У 0. Дальнейшие рассуждения аналогичны проведенным в п. 235 при доказательстве теоремы Четаева о неустойчивости. [c.538] диссипативными силами с полной диссипацией стабилизации добиться невозможно. А нельзя ли стабилизировать положение равновесия при помощи гироскопических сил Частичный ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме. Будем рассматривать гироскопические силы, линейные относительно обобщенных скоростей. [c.538] Теорема 2. Если степень неустойчивости изолированного положения равновесия консервативной системы нечетна, то стабилизация его добавлением гироскопических сил невозможна, если же степень неустойчивости четна, то гироскопическая стабилизация возможна. [c.539] Для доказательства невозможности гироскопической стабилизации при нечетной степени неустойчивости достаточно рассмотреть линеаризованную систему уравнений возмущенного движения и показать, что ее характеристическое уравнение и при наличии гироскопических сил имеет хотя бы один положительный корень. [c.539] При Л +00 имеем А(Л) +оо. Но А(0) = Ai Л2. .. и в силу нечетности степени неустойчивости А(0) 0. Следовательно, характеристическое уравнение имеет хотя бы один положительный корень и, согласно теореме п. 237 об устойчивости по первому приближению, положение равновесия = q2 =. .. = = О неустойчиво независимо от нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения, т. е. если степень неустойчивости нечетна, то стабилизация гироскопическими силами невозможна. [c.539] Теорема 3. Если изолированное положение равновесия консервативной системы имеет отличную от нуля степень неустойчивости то оно остается неустойчивым при добавлении гироскопических сил и диссипативных сил с полной диссипацией. [c.540] Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1. [c.540] Устойчивость, существующую при одних потенциальных силах, называют вековощ а устойчивость, полученную с помощью гироскопических сил,— временной. [c.540] Будем считать, что постоянная го равна нулю тогда частное решение (12) отвечает поступательному движению твердого тела в абсолютном пространстве (в орбитальной же системе координат тело вращается вокруг оси динамической симметрии с угловой скоростью ф = —п). [c.541] Здесь штрихом обозначено дифференцирование по переменной и = nt и введено обозначений а = С/А, Так как моменты инерции удовлетворяют неравенству треугольника А В С, то О 2. [c.541] Если бы гироскопические силы отсутствовали, то положение равновесия = 2 = О оно отвечает невозмущенному движению (12)) было бы неустойчивым, причем при а 7з степень неустойчивости четная, а при а 2 нечетная. Поэтому из теоремы 2 следует, что при а 2 гироскопическая стабилизация невозможна, и, следовательно, в этом случае движение (12) неустойчиво по Ляпунову. [c.542] Следовательно, в нашей конкретной задаче в случае четной степени неустойчивости при выполнении условия (18) гироскопическая стабилизация осуществляется, а при а 1 — нет. [c.542] Таким образом, показано, что поступательное движение твердого тела на круговой орбите при а 1 и а % неустойчиво по Ляпунову, а при 1 7з устойчиво в линейном приближении. Более детальное исследование позволяет показать, что на самом деле при выполнении условия (18) движение будет устойчиво по Ляпунову не только в линейном приближении, но и в рамках полных нелинейных уравнений возмущенного движения . [c.542] Вернуться к основной статье