ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Критерий РаусаВлияние диссипативных и гироскопических сил на устойчивость равновесия консервативной системы из "Теоретическая механика " Теорема. Если все корни характеристического уравнения (3) имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво независимо от нелинейных членов в (1). Если же среди корней характеристического уравнения есть хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво — тоже независимо от нелинейных членов в (1). [c.529] Здесь ttj, равняется О или 1 . Z l, Z2. Zm относительно переменных 2 1, Z2 . Zm являющихся, вообще говоря, комплексными. [c.530] Пусть Vj и Sj — действительная и мнимая части корня j характеристического уравнения (3), т. е. Aj = Vj + isj (j = 1, 2. m) здесь г — мнимая единица. [c.530] На основании теоремы Ляпунова об асимпотической устойчивости получаем отсюда вывод об асимптотической устойчивости невозмущенного движения, если вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны. [c.531] Здесь G — квадратичная форма, появляющаяся в выражении для V тогда, когда не все коэффициенты aj в системе (8) равны нулю. [c.532] Выберем число ае так, чтобы для j = 1, 2. к выполнялись неравенства О ае 2rj. Тогда при достаточно малых /х функция W будет определенно-отрицательной. Но функция У, очевидно, знакопеременная и, следовательно, не является знакопостоянной, противоположного с W знака. На основании второй теоремы Ляпунова о неустойчивости получаем отсюда вывод о том, что при наличии хотя бы одного корня характеристического уравнения с положительной вещественной частью невозмущенное движение неустойчиво. Теорема доказана. [c.532] Замечание 1. Ляпунов также показал , что если у характеристического уравнения (3) нет ни одного корня с положительной вещественной частью но есть корни, у которых вещественная часть равна нулю, то можно так подобрать нелинейные члены в уравнениях возмущенного движения (1), чтобы имела место устойчивость или неустойчивость, по желанию. [c.532] Все случаи, которые могут представиться при решении задачи об устойчивости, можно разбить на некритические и критические. В некритических случаях вопрос об устойчивости решается рассмотрением уравнений первого приближения (2). В критических случаях уравнений первого приближения недостаточно для решения задачи об устойчивости обязательно требуется привлечение нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения (1). Из доказанной выше теоремы следует, что критическими будут те и только то случаи, когда характеристическое уравнение (2) не имеет корней с положительными вещественными частями, но имеет корни с вещественными частями, равными нулю. [c.532] Коэффициенты ао, ai. этого уравнения — вещественные числа. Не ограничивая общности, будем в дальнейшем считать, что старший коэффициент ао положителен. [c.533] Отметим, также без доказательства, что если при ао О хотя бы одно из неравенств (18) имеет противоположный смысл, то уравнение (14) имеет корни, вещественные части которых положительны. [c.534] Рассмотрим простейшие частные случаи (везде предполагается, что ао 0). [c.534] Пример 1 (Уравнение первой степени (т = 1)). [c.534] Пример 2 (Уравнение второй степени (ш = 2)). [c.534] Эти неравенства показывают, что при т 2 положительности коэффициентов уравнения (14) недостаточно для того, чтобы все его корни имели отрицательные вещественные части при m = 3 нужно еще потребовать выполнения неравенства а а2 а а . [c.535] Пример 4 (Уравнение четвертой степени). [c.535] Теорема. Если в некотором изолированном положении равновесия потенциальная энергия имеет строгий локальный минимум, то при добавлении гироскопических сил и диссипативных сил с полной диссипацией это положение равновесия становится асимптотически устойчивым. [c.536] Из знакоопределенности функции V и неравенства (1) на основании теоремы Ляпунова об устойчивости получаем, что положение равновесия устойчиво. Для доказательства асимптотической устойчивости теперь достаточно убедиться в том, что если начальная точка траектории взята достаточно близко к началу координат qi = О, = О, то при t 00 имеем О, О для всех г = 1, 2. п. [c.536] Пусть движение происходит в столь малой окрестности начала координат, что последняя не содержит других положений равновесия, кроме qi = q2 =. .. = = О, а мощность 7V непотенциальных сил является определенно-отрицательной функцией обобщенных скоростей. Выбор такой окрестности всегда возможен в силу изолированности и устойчивости положения равновесия q = q2 =. .. = qn = 0. [c.536] Приращение AV на любом конечном интервале времени отрицательно, так как N = О только при = 2 = = = О, и в выбранной окрестности вне начала координат эти равенства не могут иметь места в течение конечного времени А , так как начало координат является изолированным положением равновесия. Действительно, если бы на интервале А выполнялись равенства = 2 = = = О, но не все qi были бы равны О, то, как показано в п. 225, все гироскопические и диссипативные силы Q iqj qj) были бы равны нулю и из уравнений Лагранжа второго рода (28) п. 142 следовало бы. [c.536] Вернуться к основной статье