ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Лагран. 226. Теоремы Ляпунова о неустойчивости положения равновесия консервативной системы из "Теоретическая механика " Если систему вывести из положения равновесия, сообщив ее точкам какие-то малые начальные отклонения от положений равновесия и малые начальные скорости, то в последующем движении точки системы либо все время остаются вблизи положений равновесия, либо удаляются от этих положений. В первом случае положение равновесия будет устойчивым, а во втором — неустойчивым. [c.489] Это определение удобно геометрически интерпретировать в 2п-мерном пространстве состояний qi Qi. На рис. 172 для случая п = 1 изображены две окрестности, задаваемые неравенствами (2) и (3). В случае устойчивости любое движение, начинающееся в момент t = to внутри квадрата со стороной 2 , будет происходить все время внутри квадрата со стороной 2е. [c.490] Устойчивость положения равновесия можно исследовать, зная потенциальную энергию системы. [c.490] Теорема. Если в положении равновесия консервативной системы потенциальная энергия имеет строгий локальный минимум, то это положение равновесия устойчиво. [c.490] Пусть теперь функции qi = qi t) удовлетворяют дифференциальным уравнениям движения системы. Если начальные данные удовлетворяют неравенствам (3), то во все время движения выполняются неравенства (2). Действительно, при условии (3) начальная полная энергия Eq г так как при движении консервативной системы ее полная энергия постоянна, то при всех t to имеем Е а. Поэтому точка qi t) изображающая движение системы в пространстве qi, qi г = 1, 2,. .., п), не может достигнуть границы окрестности (2), на которой Е а, а поэтому всегда остается внутри этой окрестности. Теорема доказана. [c.491] Отметим, что приведенные выше доказательства следуют соображениям, содержащимся в первом строгом и полном доказательстве теоремы Лагранжа, предложенном Дирихле. Эти соображения послужили одним из основных источников для решения общей задачи об устойчивости движения . [c.491] Таким образом, при добавлении к консервативной системе гироскопических и диссипативных сил теорема Лагранжа остается справедливой. [c.492] Теорема 1. Если потенциальная энергия консервативной системы в положении равновесия не имеет минимума и это узнается уже по членам второго порядка в разложении функции П в ряд в окрестности положения равновесия без необходимости рассматривания членов высших порядков, то положение равновесия неустойчиво. [c.493] Теорема 2. Если в положении равновесия потенциальная энергия имеет максимум и это узнается по членам наименее высокого порядка, которые действительно присутствуют в разложении этой функции в ряд в окрестности положения равновесия, то это положение равновесия неустойчиво . [c.493] АБСОЛЮТНО ГЛАДКОЙ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ). Пусть тело ограничено произвольной выпуклой поверхностью сг и общая нормаль (вертикаль) к горизонтальной плоскости и к поверхности а в некоторой ее точке D содержит центр тяжести тела G. Тогда тело на плоскости может находиться в состоянии равновесия, причем в точке D поверхность тела соприкасается с плоскостью. [c.493] Отсюда и из теоремы Лагранжа следует, что если центр тяжести тела находится ниже обоих главных центров кривизны поверхности тела в точке его касания с опорной плоскостью, то положение равновесия устойчиво. Если же центр тяжести лежит выше хотя бы одного из главных центров кривизны, то, согласно теоремам 1 и2 Ляпунова, имеет место неустойчивость. [c.494] Вернуться к основной статье