ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема ТомсоУравнения Лагранжа второго рода для импульсивных движений из "Теоретическая механика " Последнее соотношение означает, что для систем с идеальными обратимыми связями имеет место следующее утверждение. [c.451] Теорема (Делонэ-Бертрана). Если точки материальной системы получают заданные импульсы то кинетическая энергия в возникающем движении будет больше, чем кинетическая энергия, которую приобрела бы система при тех же импульсах, если бы к первоначальным связям системы были добавлены новые связи. [c.451] Иными словами, добавление новых связей при тех же импульсах приводит к уменьшению послеударной величины кинетической энергии. [c.451] Содержание теоремы Делонэ-Бертрана можно выразить еще следующим образом. Рассмотрим кинематическое состояние системы после действия заданных ударных импульсов как одно из кинематических состояний системы с увеличенным числом связей. Тогда среди бесконечного множества таких состояний системы истинное послеударное кинематическое состояние выделяется тем, что для него кинетическая энергия имеет максимальное значение при тех же импульсах. [c.452] Пример 2. Определим при помощи теоремы Делонэ-Бертрана послеударное кинематическое состояние стержня в примере 2 п. 196. [c.452] Кинематическое состояние стержня вполне определится, если найти его послеударную угловую скорость uj и положение мгновенного центра скоростей. [c.452] Мысленно наложим на стержень новую связь, шарнирно закрепив его в точке, лежащей слева от центра масс стержня на расстоянии х от него (рис. 146). Согласно теореме Делонэ-Бертрана, истинное положение мгновенного центра скоростей после удара найдется из условий максимума кинетической энергии как функции х при заданной величине импульса I. [c.452] Из условия = о находим х = и из ) получаем w = . [c.452] Поэтому теореме Делонэ-Бертрана можно дать такую формулировку кинетическая энергия, сообщаемая системе с идеальными обратимыми связями заданными импульсами есть максимум при условии (3). [c.453] Пример 3 (См. также п. 198). К покоящемуся свободному твердому телу приложены ударные импульсы с главным вектором и главным моментом относительно центра масс тела. Определим кинематическое состояние тела после удара при помощи теоремы Делонэ-Бертрана. [c.453] Это означает, что для рассматриваемой системы материальных точек справедливо следующее утверждение. [c.455] Теорема (Томсона). Кинетическая энергия, которую приобретает система в действительности от приложенных импульсов, будет наименьшей из v всех тех кинетических энергий, кото-рые сообщили бы системе всевозможные импульсы, удовлетворяющие условию (7). [c.455] Пример 1. Два одинаковых тонких однородных стержня АО и О В массы т и длины I каждый шарнирно соединены в точке О и находятся в покое перпендикулярно один другому. Концу В стержня ОВ внезапно сообщается скорость v, параллельная направлению О А (рис. 160). Определить кинематическое состояние стержней после удара. [c.455] Пример 2. К заданной точке свободного твердого тела приложен импульс, сообщающий этой точке данную скорость. Определить послеударное состояние тела. [c.456] Отметим, что из формул 2), (3) п. 198 и уравнений (9), (10) следует, что Лж, Ху, Xz — проекции неизвестного вектора ударного импульса на оси Gx, Gy, Gz. [c.456] Теореме Томсона можно дать истолкование, близкое по форме к данному в предыдущем пункте истолкованию теоремы Делонэ-Бертрана. Будем рассматривать послеударное кинематическое состояние системы, заданным точкам которой сообщены заданные скорости, как одно из послеударных состояний системы с увеличенным числом связей. Тогда среди бесконечного множества таких состояний истинное послеударное состояние выделяется тем, что оно дает наименьшую кинетическую энергию при тех же скоростях заданных точек системы. [c.457] Иными словами, добавление новых связей при тех же скоростях заданных точек системы приводит к увеличению ее послеударной кинетической энергии. [c.457] Сравнив теоремы Делонэ-Бертрана и Томсона, получим, что если заданы ударные импульсы, приложенные в данных точках системы, то послеударное состояние системы может быть найдено при решении задачи максимума кинетической энергии, если же заданы скорости точек приложения импульсов, то послеударное состояние находится как решение задачи минимума кинетической энергии при добавлении новых связей. [c.457] Пример 4. При помощи теоремы Томсона найдем положение мгновенного центра скоростей тонкого однородного стержня, правому концу которого сообщена скорость v перпендикулярно стержню (рис. 146). [c.458] Согласно теореме Томсона, искомая величина х доставляет минимум величине кинетической энергии. Это дает х = , что совпадает с результатом предыдущего пункта. [c.458] Вернуться к основной статье