ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теория импульсивных движений Основные понятия и аксиомы из "Теоретическая механика " Движение линеаризованной системы представляет собой суперпозицию колебаний п гармонических осцилляторов с частотами бт/г , (/с = 1, 2. п). Если в разложении (44) формы при m 3 не равны тождественно нулю, то уравнения движения нелинейны. Чтобы исследовать движение в этом случае, упростим функцию Гамильтона (44) при помощи канонической замены переменных, носящей название преобразования Биркгофа. [c.399] Положим з = 0. Принимая во внимание формулы (48), (49) и приравнивая в этом тождестве нулю коэффициент при. [c.400] Можно было бы попытаться аналогичным образом при помощи еще одного канонического преобразования q j p j р уничтожить члены четвертой степени Н 1 в функции Гамильтона Н . Это, однако, не удастся сделать, и в новой функции Гамильтона останутся некоторые члены четвертой степени, имеющие вполне определенную структуру. [c.401] вообще, методом математической индукции нетрудно показать, что если в системе нет резонансов до порядка I включительно, т. е. [c.401] Приближенное решение исходных уравнений получится из равенств (56) при помощи формул указанного выше канонического преобразования Биркгофа, выражающих старые переменные через новые. Несложно проверить, что в рассматриваемом случае чисто мнимых корней характеристического уравнения линеаризованной системы уравнений движения величины Л/г к = 1, 2. п) также будут чисто мнимыми, Л/г = гП/г (/с = 1, 2. п), и, следовательно, старые переменные будут рядами синусов и косинусов аргументов, кратных П/г . [c.402] В последние десятилетия разработаны новые способы применения канонических преобразований в теории возмущений, например метод Депри-Хори. С алгоритмической точки зрения он выгодно отличается от изложенных классических методов. Например, его применение не требует одной из самых громоздких процедур — обращения рядов, а формулы метода задаются рекуррентно, и необходимые преобразования могут быть достаточно просто реализованы на вычислительной машине . [c.403] В формулах (61), (62) отброшены члены, степень которых выше степени оставшихся членов. [c.404] Приближенное решение задачи о нелинейных колебаниях маятника получается теперь из формул (57), (60), (62), выражающих исходные величины ср, рср через новые переменные, в которых записано решение (63). [c.405] Вернуться к основной статье