ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные соотношения линейной теории упругости и вязкоупругости для сжимаемых и несжимаемых материалов в конечно-элементной формулировке из "Муфты с неметаллическими упругими элементами " Ниже будут рассмотрены основные задачи теории упругости, встречающиеся при расчете резиновых упругих элементов муфт. Выражения для матриц жесткости конечных элементов при плоской деформации, осесимметричном и объемном напряженных состояниях будут получены для. сжимаемого и несжимаемого материала. [c.16] Плоская задача теории упругости [29]. Она характеризуется случаем, когда все физические и геометрические свойства конструкции зависят только от двух координат. [c.16] Функции формы обычно задаются в локальной системе координат (е, Т1) элемента и будут подробнее рассмотрены в разделе, посвященном вычислению матриц жесткости. [c.16] С помощью приведенных выражений для матриц [В] и [О] матрица жесткости конечного элемента может быть найдена по формуле (1.11). [c.17] Плоская деформация. В случае плоского деформированного состояния принимается гипотеза об отсутствии деформаций в плоскостях, параллельных оси 2 (декартова система координат), т. е. [c.17] Матрица жесткости [к] конечного элемента после этого вычисляется так же, как и для плоского напряженного состояния, причем для обоих случаев матрица [5] имеет один и тот же вид. [c.17] Матрица системы (1.21) симметричная, поэтому приведены формулы только для компонентов верхнего треугольника этой матрицы. Остальные /г,7 =/г/, при 1 /. [c.18] Полученная матрица жесткости четырехточечного конечного элемента может использоваться непосредственно при сборке глобальной матрицы жесткости конструкции, упругое поведение которой описывается функционалом Геррманна (1.13). При использовании функционала Аргириса (1.15) первые восемь строк и стол бцов полученной матрицы используются для формирования матрицы К системы (1.16), а компоненты девятой строки и девятого столбца служат для образования матрицы [//] окаймления. [c.18] Исследуемая конструкция разбивается на кольцевые (тороидальные) конечные элементы, на границах которых располагаются узловые окружности. В качестве базового конечного элемента в осесимметричной задаче целесообразно использовать произвольный кольцевой элемент, показанный на рис. 1.10. [c.19] Здесь также к1 = кц при / /. [c.20] Трехмерное состояние. Метод конечных элементов в принципе позволяет производить решение задач с любым числом измерений (под числом измерений здесь понимается число независимых узловых параметров, в качестве которых кроме перемещений могут быть приняты, например, также величины температур, концентрации повреждений и т. д.). Однако введение каждого нового измерения требует значительного увеличения объема требуемой машинной памяти и соответственно времени счета. Поэтому решение трехмерных задач следует производить только в тех расчетных случаях, когда применение упрощающих гипотез оказывается невозможным. [c.20] Практика расчетов упругих элементов муфт показывает, что наиболее удобными в расчетном отношении являются восьмиузловые восьмиугольные произвольные призмы (рис. 1.11). При разбиении конструкции на такие элементы обеспечивается достаточная точность и экономичность вычислений методом конечных элементов. [c.20] Матрица жесткости конечного элемента может быть определена по формуле (1.11). [c.22] Для несжимаемого материала процедура получения матрицы жесткости может быть аналогичной рассмотренным выше для плоской деформации и осесимметричного состояния, однако в трехмерном случае такой способ решения представляется уже слишком громоздким. В литературе не встречается каких-либо сведений о его практической реализации. Развитие получили методы, позволяющие находить решение трехмерной задачи наложением решений ряда двухмерных задач. Указанный способ нахождения решения в литературе по методу конечных элементов получил наименование полуаналитического метода [14]. [c.22] Сущность этого метода состоит в том, что заданные нагрузки, перемещения, а для несжимаемого материала и функция гидростатического давления в области их определения разлагаются в ряды по системе ортогональных функций. Такое разложение производится по координате, вдоль которой геометрия и свойства рассчитываемой детали остаются неизменными. Рассмотрим применение полуаналитического метода решения при расчете упругих элементов муфт в виде тел вращения при неосесимметричном нагружении. Так как такое рассмотрение будет вестись в рамках геометрических соотношений, указанный ниже способ решения одинаково применим и к слабосжимаемым, и к несжимаемым материалам. [c.22] При угловом перекосе валов с разворотом полумуфт относительно плоскости, проходящей через центр крепления упругого элемента к полу-муфте, возникает случай, при котором отсутствует окружное перемещение узловых точек (см. рис. 1.12). [c.23] Используя физические соотношения (закон Гука), напряжения в упругом элементе для сжимаемого материала могут быть определены с помощью определенных выше выражений для деформаций [см. формулы (1.29) или (1.30)]. [c.23] Отличие этих матриц жесткости от матрицы, полученной выше для случая осесимметричного состояния, состоит в учете компонентов 7 0 и 7г0- Однако практика расчетов показывает, что вклад этих деформаций в потенциальную энергию невелик (для рассматриваемых случаев нагружения не превышает 2—3%). Пренебрегая ими, в расчетах можно с успехом воспользоваться матрицей жесткости, полученной для осесимметричной задачи, что существенно упрощает решение. [c.24] Кручение. При кручении упругих элементов муфт, выполненных в форме тел вращения, напряженное состояние может быть с достаточной степенью точности найдено на основе принятия гипотезы о неизменности формы и размеров упругих элементов при их нагружении. Практически это означает, что отсутствуют перемещения вдоль координатных осей г и Z (и = и = 0), а задача теории упругости решается относительно перемещений w в окружном направлении вдоль координаты 0 (цилиндрическая система координат). [c.24] При проведении расчетов на кручение методом конечных элементов целесообразно использовать произвольный кольцевой четырехточечный элемент, показанный на рис. 1.10. [c.24] Вернуться к основной статье