ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод конечных элементов в расчетах резинотехнических изделий из "Муфты с неметаллическими упругими элементами " Общие положения метода конечных элементов применительно к решению задач механики сплошной среды к настоящему времени достаточно хорошо разработаны и освещены в технической литературе [14, 26, 46]. Достоинства метода состоят прежде всего в том, что он позволяет решать широкий круг задач при самых общих предположениях относительно геометрических и реологических особенностей исследуемых конструкций независимо от характера решаемых задач исследование напряженно-деформированного состояния, температурного состояния определение жесткостных параметров или вязкоупругих характеристик. [c.9] Классический подход к решению указанных задач предполагает введение в рассмотрение бесконечно малых элементов, составляющих континуум исследуемой конструкции, и описание посредством дифференциальных уравнений некоторого состояния (равновесия, движения, теплового баланса и т. п.). Решение в замкнутой форме может быть получено для ограниченного числа наиболее простых задач. Если для получения конечных результатов используются численные методы (что обычно и имеет место), то на определенном этапе решения сплошная среда фактически аппроксимируется некоторой дискретной моделью. Связано это с тем, что ЭВМ лучше работает с элементами, имеющими конечную величину. При составлении этой дискретной модели зачастую утрачиваются те преимущества, которые дает описание задачи при помощи бесконечно малых и привлечение аппарата математического анализа. Отсюда, естественно, напрашивается такой подход к решению, при котором сплошная среда с самого начала представляется при помощи дискретной модели. Кусочные подобласти носят в этом случае название конечных элементов (элементов конечных размеров). Элементы взаимодействуют между собой через узловые точки (узлы), расположенные на их границах. Число узловых параметров дискретной модели образует число степеней свободы идеализированной сплошной среды, а совокупность значений узловых параметров характеризует ее состояние. [c.10] Основная идея МКЭ состоит в том, что некоторую непрерывную величину, такую как перемещение, температура, напряжение и т. п., в некоторой области можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Алгоритм метода конечных элементов может быть кратко определен следующим образом. [c.10] Описанный алгоритм решения реализуется для самых разнообразных задач, включая задачи теории упругости и теплопроводности. Метод конечных элементов в обычной постановке предполагает решение задачи теории упругости в перемещениях, при этом неизвестными, подлежащими, определению, являются перемещения узловых точек. Уравнения равновесия разбитой на элементы конструкции под действием внутренних и внешних сил представляют собой систему линейных алгебраических уравнений, причем все силы приводятся к узловым точкам, а соотношение между узловыми силами и перемещениями представляется матрицей жесткости. [c.10] Процедуры сборки так называемой глобальной матрицы жесткости из матриц жесткости отдельных элементов, занесения в систему алгебраических уравнений граничных условий в условиях и перемещениях в настоящее время достаточно формализованы. Их программная реализация затруднений, как правило, не вызывает. Таким образом, одной из основных задач при использовании метода конечных элементов является получение матрицы жесткости используемого конечного элемента, отражающей физическое содержание конкретной задачи. [c.11] Интегрирование в выражениях (1.4) и (1.5) ведется, соответственно, по объему V и площади Л конструкции. [c.11] Таким образом, в методе конечных элементов по существу отыскивается минимум полной потенциальной энергии конструкции на возможных перемещениях узловых точек. Соотношения (1.6) тождественны системе линейных алгебраических уравнений (1.1), характеризующей условия равновесия. Применительно к конечному элементу этот факт может быть использован для получения матрицы жесткости. [c.11] Интегрирование выражения (1.11) по объему Ус конечного элемента обычно выполняется численно с использованием специальных квадратурных формул в локальной системе координат, связанной с элементом. Подробнее процедура численного интегрирования рассмотрена в п. 2.2. [c.12] Касаясь применения метода конечных элементов к расчету напря-женно-деформированного состояния резинотехнических изделий, в том числе и резиновых упругих элементов муфт, следует отметить особенности реализации этого метода, связанные со слабой сжимаемостью резины. Слабая сжимаемость материала, как указывалось ранее, приводит к существенному усложнению алгоритма решения задач, резкому возрастанию затрат машинной памяти и машинного времени, что особенно ощутимо при решении итерационных задач с учетом вязкоупругости, контактных задач и задач с переменными граничными условиями, требующих выполнения значительного числа шагов. Поэтому особое внимание должно быть уделено повышению эффективности алгоритма расчета резиновых деталей. [c.12] Минимизация функционала полной потенциальной энергии по возможным перемещениям узловых точек приводит к условиям равновесия, а его минимизация по возможным значениям функции гидростатического давления — к условиям несжимаемости. [c.13] Матрица системы (1.16), а также векторы неизвестных и правой части имеют блочную структуру. Благодаря предложенному Дж. Арги-рисом способу блочного представления матрицы разрешающей системы линейных алгебраических уравнений, проблемы повышения ее связности не возникает. Блок [К] представляет собой симметричную матрицу, имеющую ленточный характер. Окаймление в виде матрицы [Н отражает условия несжимаемости. Особенности ее структуры и будут рассмотрены ниже. [c.14] Таким образом, принятие концепции абсолютной несжимаемости резины существенно повышает сложность алгоритма. Время счета увеличивается примерно на порядок, а необходимый объем машинной памяти — более чем в три раза. Например, для области в 100 четырехточечных элементов требуется не менее 100 Кбайт оперативной памяти машины. [c.14] Алгоритмы, в которых используются принципы стационарности ополнительной работы и обобщенного функционала, обладают теми же недостатками. Вместе с тем в большинстве расчетных случаев существенное возрастание относительной ошибки расчета для сжимаемого материала, возникающее вследствие плохой обусловленности системы, наблюдается лишь при значениях коэффициента Пуассона 0,495. Это позволяет во многих задачах использовать более простой алгоритм расчета. Необходимо также отметить, что решение тестовых задач не всегда может позволить сделать правильный вывод о диапазоне использования того или иного алгоритма, поэтому бывает целесообразно сравнивать результаты, полученные по двум описанным выше схемам. [c.14] Здесь также уместно отметить, что решение задач, основанных на использовании упругих потенциалов, наталкивается на существенные трудности вычислительного характера, связанные с необходимостью решения нелинейных уравнений. В методе конечных элементов эта форма представления связи между напряжениями и деформациями практически не встречается. [c.15] Если говорить об исследовании резиновых упругих элементов муфт, то здесь достаточно ограничиться рассмотрением средних по величине деформаций (до 30—40%). Большие деформации встречаются крайне редко. Это обусловлено требованием обеспечения необходимого ресурса муфт, работающих, как правило, в условиях циклического нагружения и повышенных температур. Используя тот факт, что в пределах этих деформаций связь между а и е линейна, удается построить простой метод решения упругих задач, основанный на пошаговом нагружении конструкции. Этот метод известен под названием дельта-метода [11, 38]. Суть его состоит в том, что на каждом шаге нагружения решается линейная задача, отыскивается деформированное состояние, которое является исходным для последующего шага нагружения. Поскольку константы материала не изменяются, то все зависимости для каждого из шагов остаются одинаковыми. Основным вопросом пошаговой процедуры является вопрос суммирования напряжений с учетом изменения площадей элементов и направления площадок их действия. Этот вопрос решается на основе использования якобиана преобразования координат [38]. [c.15] Вернуться к основной статье