ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Ковариантность уравнений Гамильтона при канонических преобразовани. 171. Канонические преобразования и процесс движения из "Теоретическая механика " Для доказательства теоремы теперь достаточно заметить, что равенства (11) и (13) эквивалентны. [c.341] Получим теперь критерий каноничности преобразования (4), использующий скобки Пуассона. [c.341] Отсюда следует, что равенства (14) и (7) эквивалентны, что и доказывает теорему. [c.342] Приведенные критерии каноничности, как и само определение (7), позволяют по явно заданному преобразованию (4) решить, является оно каноническим или нет. Для дальнейшего построения теории канонических преобразований очень важен следующий критерий каноничности. [c.342] При этом под полными дифференциалами SF и SQk (к = 2. п) понимаются дифференциалы, соответствующие изменению переменных д, р величина t считается параметром. [c.342] Так как эти равенства совпадают с равенствами (11), то отсюда следует справедливость доказываемой теоремы. [c.343] Так как преобразование (4) каноническое, то имеют место равенства (11), откуда вытекает справедливость равенств (27), а следовательно, и равенства (25). [c.344] Роль новой функции Гамильтона играет функция К. Теорема доказана. [c.345] Приведем некоторые простые, по практически важные примеры канонических преобразований. Старую и новую функции Гамильтона обозначим соответственно H q р, t) и % Q Р, t). [c.345] Это унивалентное каноническое преобразование при этом n = H Q, Р, t). [c.345] Примеры 2 и А показывают что при канонических преобразованиях может исчезнуть различие между координатами и импульсами. Применение названий импульс и координата может стать чисто условным. Поэтому для пары переменных Qi и очень удобно название канонически сопряженные переменные . [c.346] Теорема. Преобразование фазового пространства, задаваемое движениями гамильтоновой системы, является унивалентным каноническим преобразованием. [c.347] Надо убедиться в том, что матрица Якоби М = d /dzo удовлетворяет тождеству (7) при с = 1, т. е. [c.347] Отсюда следует, что матрица M JM постоянна. Но при = О она, очевидно, равна J. Поэтому при всех t имеет место равенство (41). Теорема доказана. [c.348] Вернуться к основной статье