ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Понижение порядка системы дифференциальных уравнений движения при помощи уравнений Рауса из "Теоретическая механика " Описанная в п. 164, 165 процедура понижения порядка системы дифференциальных уравнений движения является одним из наиболее эффективных и практически важных способов, применяемых при интегрировании уравнений движения. Всякая симметрия задачи, допускающая такой выбор обобщенных координат, чтобы некоторые из них были циклическими, приводит к существованию первых интегралов ро = onst и, как мы видели, позволяет свести исследование движения к рассмотрению системы с меньшим числом обобщенных координат. Для обобщенно консервативных систем с двумя степенями свободы наличие одной циклической координаты позволяет свести интегрирование уравнений движения к квадратурам (см. п. 164). [c.329] Эта система называется приведенной системой, а функция П — приведенным потенциалом, или потенциалом Рауса. [c.330] Заметим, что G +oo) = +(Х), G( l) = О если а ф 0), G( —оо) = — 00. Так как С и) — непрерывная функция, то хотя бы один из корней, например щ, должен быть не меньше единицы. Но на отрезке —1 и - -1 должны быть значения и, при которых функция G u) положительна или хотя бы обращается в нуль, так как в противном случае равенство (17) невозможно для действительных значений и. Величина же и обязятельно должна быть действительной, так как движение маятника,безусловно, физически существует. Отсюда следует, что функция С и) имеет ровно два вещественных корня U2 на отрезке и один корень щ 1. График функции G u) должен быть таким, как показано на рис. 139. [c.330] Так как для реального движения G u) О, то интересующий нас интервал изменения и определяется неравенством u и U2- Ему соответствует область изменения угла в 62 О Oi, отвечающая реальному движению маятника. [c.331] Рассмотрим движение отвечающее различным значениям постоянных а и (3. Сразу отметим, что из условий G u) О и —1 и - -1 следует, что величина (3 не может быть совсем произвольной, а должна удовлетворять неравенству /3 —2. Если /3 = —2, то постоянная а может быть только равной нулю, что соответствует положению равновесия маятника, когда он занимает вертикальное положение и = —1, т. е. в = 7г). [c.331] На рис. 140 значения параметров а, (3, удовлетворяющие неравенству (22), соответствуют точкам, лежащим в незаштрихованной области плоскости или на ее границе. Верхняя граница области задается уравнением = f /3) она касается оси 0/3 в точке ( — 2, 0), а при (3 00 имеет асимптоту о — (3. [c.331] Для классификации движения маятника рассмотрим последовательно три возможных случая. [c.332] Когда угол в найден как функция времени, зависимость (p t) находится из уравнения (14) при помощи одной квадратуры. [c.333] Вернуться к основной статье