ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Ангармонические колебания из "Механика сплошных сред Изд.2 " Вся изложенная теория упругих колебаний является приближённой в том же смысле, в каком приближённа вообще вся теория упругости, основанная на законе Гука. Напомним, что в её основе лежит разложение упругой энергии в ряд по степеням тензора деформации, причём оставляются члены до второго порядка включительно. Соответственно этому компоненты тензора напряжений оказываются линейными функциями компонент тензора деформации, и уравнения движения— линейны. [c.770] Наиболее характерной особенностью упругих волн в этом приближении является то, что всякую волну можно представить в виде простого наложения, т. е. в виде линейной комбинации отдельных монохроматических волн. Каждая из этих монохроматических волн распространяется независимо от остальных и может существовать также и сама по себе, не сопровождаясь какими-либо посторонними движениями. Можно сказать, что различные монохроматические волны, одновременно распространяющиеся в одной и той же среде, не взаимодействуют друг с другом. [c.770] ЧТО соответствующие уравнения движения нелинейны и не допускают простых периодических (гармонических) решений. [c.771] Как известно, частный интеграл линейных уравнений такого вида представляет собой сумму членов с такими же экспоненциальными множителями, какие стоят в свободных членах (правых сторонах) уравнений, и с надлежащим образом подобранными коэффициентами. Каждый из этих членов соответствует бегущей волне с частотой в rt Од и волновым вектором kjztkg (частоты, равные сумме или разности частот исходных волн, называются комбинационными). [c.771] Таким образом, эффекты ангармоничности третьего порядка приводят к тому, что на совокупность основных монохроматических волн (с частотами ш , со ,. . и волновыми векторами Ц, kg,. . .) налагаются некоторые волны слабой интенсивности с комбинационными частотами вида (о (Og и волновыми векторами kj rt kg. Мы говорим здесь о них как о волнах в кавычках, имея в виду, что они представляют собой некоторый поправочный эффект и не могут существовать сами по себе (за исключением некоторых особых случаев см. ниже). Между ojzhKOg и к кд не удовлетворяются, вообще говоря, те соотношения, которые имеют место для частот и волновых векторов в обычных монохроматических волнах. [c.771] однако, что возможны и такие специальные подборы значений o)j, kj и (Oj, kg, при которых между + и (будем говорить для определённости о суммах, а не о разностях) будет выполняться одно из тех соотношений, которые должны иметь место для MOHOxgOMaTHHe KHx волн в данной среде. Вводяo6o3Ha4eHHHm3=(Oj- -a)2, кз = к1- -к2, мы можем сказать, с математической точки зрения, что Шд, kg соответствуют в этих случаях волнам, удовлетворяющим однородным линейным уравнениям движения (без правой части) первого приближения. Если в правой стороне уравнений движения второго приближения имеются члены, пропорциональные - , ) с такими Шд, kg, то, как известно, частный интеграл этих уравнений будет представлять собой волну этой частоты с амплитудой, неограниченно возрастающей со временем. [c.772] Эффект ангармоничности с явлением резонанса возникает не только при наложении нескольких монохроматических волн, но и при наличии всего одной только волны со,, к,. В этом случае в правой стороне уравнений движения имеются члены, пропорциональные e2i(kir-a ii). Но если для U,, к, удовлетворяется обычное соотношение, то (в силу однородности первого порядка этого соотношения) оно удовлетворяется и для 2со,, 2kj. Таким образом, эффект ангармоничности приводит к появлению наряду с каждой из имеющихся монохроматических волна),, Ц также и волны 2со,, 2к с удвоенными частотой и волновым вектором, причём амплитуда этой волны растёт со временем. [c.772] Наконец, остановимся коротко на том, каким образом могут быть составлены уравнения движения с учётом ангармонических членов. [c.772] Написать общее выражение для упругой энергии изотропного тела в третьем приближении. [c.774] Вернуться к основной статье