ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнение Чаплыгина (общая задача о двухмерном стационарном движении сжимаемого газа) из "Механика сплошных сред Изд.2 " Определим общий вид решений уравнений стационарного плоского сверхзвукового движения газа, описывающих течения, при которых на бесконечности имеется однородный плоско-параллельный поток, в дальнейшем своём течении поворачивающий, обтекая искривлённый профиль. С частным случаем такого решения нам уже приходилось иметь дело при изучении движения вблизи угла, — при этом мы по существу рассматривали плоско-параллельный поток, текущий вдоль одной из сторон угла и поворачивающий вокруг края этого угла. В этом частном решении все величины — две компоненты скорости, давление, плотность — были функциями всего лишь от одной переменной— от угла 3. Поэтому каждая из этих величин могла бы быть выражена в виде функции одной из них. Поскольку это решение должно содержаться в виде частного случая в искомом общем решении, то естественно искать это последнее, исходя из требования, чтобы и в нём каждая из величин р, р, Vy (плоскость движения выбираем в качестве плоскости х, у) могла быть выражена в виде функции одной из них. Такое требование представляет собой, конечно, весьма существенное ограничение, налагаемое на решение уравнений движения, и получающееся таким образом решение отнюдь не является общим интегралом этих уравнений. В общем случае каждая 3 величин р, р, г/а,, Vy, являющихся функцией двух координат X, у, могла бы быть выражена лишь через две из них. [c.518] Дальнейших вычислений можно не производить вовсе, если непосредственно воспользоваться известным уже нам частным решением для волны разрежения при обтекании угла ( 101, 104). Напомним, что в этом решении все величины (в том числе и давление) постоянны ВДОЛЬ каждой прямой (характеристики), проходяш,ей через вершину угла. Это частное решение, очевидно, соответствует случаю, когда В общем выражении (107,1) произвольная функция тождественно равна нулю. Функция же /j (/ ) определяется полученными в 101 формулами. [c.520] Уравнение (107,1) при постоянных значениях р определяет семейство прямых линий в плоскости X, у. Эти прямые пересекают в каждой своей точке линии тока под углом, равным углу возмущений. Это непосредственно очевидно из того, что таким свойством обладают прямые y = xf (p) в частном решении с /2 = 0. Таким образом, и в общем случае одно из семейств характеристик (характеристики, исходящие от поверхности тела) представляет собой прямые лучи, вдоль которых все величины остаются постоянными эти прямые, однако, не имеют теперь общей точки пересечения. [c.520] Изложенные свойства рассматриваемого движения в математическом отношении полностью аналогичны свойствам одномерных простых волн, у которых одно из семейств характеристик представляет собой семейство прямых линий в плоскости х, t (см. 94, 96, 97). Поэтому рассматриваемый класс течений играет в теории стационарного плоского (сверхзвукового) движения такую же роль, какую играют простые волны в теории нестационарного одномерного движения. Ввиду этой аналогии эти течения тоже называют простыми волнами. В частности, волну разрежения, соответствующую случаю /2 = 0, называют центрированной простой волной. [c.520] Как и в нестационарном случае, одно из важнейших свойств стационарных простых волн заключается в том, что течение во всякой области плоскости х, у, граничащей с областью однородного потока, есть простая волна (ср. 97). [c.520] Покажем теперь, каким образом может быть построена простая волна для обтекания заданного профиля. [c.520] Произвольная функция / (ср) определится по заданной форме профиля следующим образом. Пусть форма профиля задана уравнением У=У X), где X и —координаты его точек. На самой поверхности скорость газа направлена по касательной к ней, т. е. [c.521] Исходя из заданного уравнения = У(Х) и уравнения (107,7), представляем форму профиля в виде параметрических уравнений Л =. (9), У = К(9), где параметром является угол 6 наклона касательной к профилю. Подставляя сюда 6, выраженное через р согласно (107,4), получаем X и V в виде функций от наконец, подставляя их в (107,8), получим искомую функцию Р(ф). [c.522] При обтекании выпуклой поверхности угол 0 наклона вектора скорости к оси X уменьшается вниз по течению (рис. 98). Вместе с ним монотонно убывает также и угол — ср наклона характеристик (речь идёт везде о характеристиках, исходящих от тела). Благодаря этому характеристики нигде (в области течения) не пересекаются друг с другом. Таким образом, в области вниз по течению от характеристики ОА, которая будет представлять собой слабый разрыв, мы будем иметь непрерывный (без ударных волн) монотонно разрежающийся поток. [c.522] Иначе обстоит дело при обтекании вогнутого профиля. Здесь наклон 6 касательной к профилю, а с ним и наклон характеристик возрастают в направлении течения. В результате характеристики пересекаются друг с другом (в области течения). Но на различных не параллельных друг другу характеристиках все величины (скорость, давление и т. п.) имеют различные значения. Поэтому в точках пересечения характеристик все эти функции оказываются многозначными, что физически нелепо. Аналогичное явление мы имели уже в нестационарной одномерной простой волне сжатия ( 94). Как и там, оно означает здесь, что в действительности возникает ударная волна. Положение этого разрыва не может быть определено полностью из рассматриваемого решения, выведенного в предположении его отсутствия. Единственное, что может быть определено, — это место начала ударной волны (точка О на рис. 99 ударная волна изображена сплошной линией ОВ). Именно, она определяется как точка пересечения характеристик, лежащая на наиболее близкой к поверхности тела линии тока. На линиях тока, проходящих под точкой О (ближе к телу), решение везде однозначно в точке же О начинается его многозначность. Уравнения, определяющие координаты Хд, этой точки, могут быть получены аналогично тому, как были найдены соответствующие уравнения для определения момента и места образования. [c.522] Что касается области существования простой волны при обтекании вогнутого профиля, то вдоль линий тока, проходящих над точкой О, оно применимо вплоть до места пересечения этих линий с ударной волной. Линии же тока, проходящие под точкой О, с ударной волной вообще не пересекаются. Однако отсюда нельзя сделать заключение о том, что вдоль них рассматриваемое решение применимо везде. Дело в том, что возникающая ударная волна оказывает возмущающее влияние и на газ, текущий вдоль этих линий тока, и таким образом нарушает движение, которое должно было бы иметь место в её отсутствии. В силу свойства сверхзвукового потока эти возмущения будут, однако, проникать лишь в область газа, находящуюся вниз по течению от характеристики О А, исходящей из точки начала ударной волны (одна из характеристик второго семейства). Таким образом, рассматриваемое здесь решение будет применимым во всей области слева от линии АОВ. Что касается самой линии О А, то она будет представлять собой слабый разрыв. Мы видим, что непрерывная (без ударных волн) во всей области простая волна сжатия вдоль вогнутой поверхности, аналогичная простой волне разрежения вдоль выпуклой поверхности, невозможна. [c.523] В ударной волне, возникающей при обтекании вогнутого профиля, мы имеем пример волны, начинающейся от некоторой точки, расположенной в самом потоке вдали от твёрдых стенок. Такая точка начала ударной волны обладает некоторыми общими свойствами, которые мы здесь отметим. В самой точке начала интенсивность ударной волны обращается в нуль, а вблизи неё мала. Но в ударной волне слабой интенсивности скачок энтропии и ротора скорости — величины третьего порядка малости, и потому изменение течения при прохождении через волну отличается от непрерывного потенциального изэнтропического изменения лишь в величинах третьего порядка. Отсюда следует, что в отходящих от точки начала ударной волны слабых разрывах должны испытывать скачок лишь производные третьего порядка от различных величин. Таких разрывов будет, вообще говоря, два слабый разрыв, совпадающий с характеристикой, и тангенциальный слабый разрыв, совпадающий с линией тока (см. конец 89). [c.523] Рассмотрев стационарные простые волны, перейдём теперь к общей задаче о произвольном стационарном плоском потенциальном движении. Говоря о потенциальном течении, мы подразумеваем, что движение изэнтропично и что в нём отсутствуют ударные волны. [c.524] Как было показано впервые С. А. Чаплыгиным в 1902 г., оказывается возможным свести поставленную задачу к решению всего одного линейного уравнения в частных производных. Это осуществляется путём введённого Чаплыгиным преобразования к новым независимым переменным — компонентам скорости v , Vy (это преобразование часто называют преобразованием годографа плоскость переменных v , Vy называют при этом плоскостью годографа, а плоскость X, у — физической плоскостью). [c.524] Здесь скорость звука является заданной функцией скорости, = v), определяемой уравнением состояния газа и уравнением Бернулли. [c.525] Уравнение (108,8) вместе с соотношениями (108,6) заменяет собой уравнения движения. Таким образом, задача о решении нелинейных уравнений движения сводится к решению линейного уравнения для функции Ф( У, 0). Правда, нелинейными оказываются зато граничные условия для этого уравнения. Эти условия заключаются в следующем. На поверхности обтекаемого тела скорость газа направлена по касательной к ней. Выразив координаты уравнения поверхности в виде параметрических уравнений Х=Х(Ь), Y=Y(n) (как это было объяснено в предыдущем параграфе) и подставив X vi Y ь (108,6) вместо хну, мы получим два уравнения, которые должны удовлетворяться при всех значениях Ь, что возможно отнюдь не при всякой функции Ф (г , 6). Граничное условие как раз и будет заключаться в требовании, чтобы оба эти уравнения были совместными при всех 0, т. е. одно из них должно быть автоматическим следствием другого. [c.526] И ПО одну ИЗ сторон от предельной линии v становится комплексной 1). [c.527] что при с всегда Д О, и лишь при к с Д может изменить знак, пройдя через нуль. [c.527] Появление в решении уравнения Чаплыгина предельных линий свидетельствует о том, что в данных конкретных условиях невозможен непрерывный во всей области движения режим обтекания, и в потоке должны возникать ударные волны. Следует, однако, подчеркнуть, что положение этих волн отнюдь не совпадает с предельными линиями. [c.527] В предыдущем параграфе мы рассмотрели частный случай сверхзвукового стационарного двухмерного течения (простую волну), характерный тем, что в нём величина скорости является функцией только её направления v—v(Ь). Это решение не могло бы быть получено из уравнения Чаплыгина для него тождественно 1/Д = 0, и оно теряется , когда при преобразовании к плоскости годографа приходится умножать уравнение движения (уравнение непрерывности) на якобиан Д. Положение здесь в точности аналогично тому, что мы имели в теории одномерного нестационарного движения. Всё сказанное в 98 о взаимоотношении между простой волной и общим интегралом уравнения (98,2) полностью относится и ко взаимоотношению между стационарной простой волной и общим интегралом уравнения Чаплыгина. [c.527] Вернуться к основной статье