ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Об уравнениях движения тяжелого тела произвольной выпуклой формы из "Теоретическая механика " Уравнения (34)-(36) справедливы и для движения без скольжения, и для случая движения со скольжением при наличии трения, и для абсолютно гладкой плоскости. Дополнительные к (34)-(36) уравнения, отражающие характер взаимодействия тела и плоскости, для каждого из этих случаев различны. [c.231] Из теоремы об изменении кинетической энергии следует, что при отсутствии скольжения полная механическая энергия тела постоянна, т. е. [c.232] Уравнения (35), (36) с учетом (32), (33), (39), (43) образуют систему уравнений для нахождения шести неизвестных р, г, ж, 2 . Когда эти величины найдены, реакция и закон движения центра масс тела по вертикали определяются из (43) и (42). [c.232] Этот интеграл следует из теоремы об изменении кинетического момента, так как внешние силы, действующие на тело (сила тяжести и реакция плоскости), направлены вертикально и не создают момента относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс тела. [c.233] Уравнение связи, как и в случае абсолютно гладкой плоскости, записывается в виде равенства (41), а величина нормальной реакции вычисляется по формуле (43). [c.233] При исследовании движения во всех трех рассмотренных случаях следует иметь в виду, что величина нормальной реакции плоскости должна быть неотрицательной. В противном случае возможен подскок тела над плоскостью. [c.233] Задача двух тел состоит в следующем. В пустом пространстве движутся две материальные точки, притягивающиеся одна к другой по закону всемирного тяготения Ньютона. Заданы начальные положения точек и их скорости. Требуется найти положения точек для любого последующего момента времени. [c.234] Эта задача является основной в проблеме движения планет Солнечной системы и искусственных спутников Земли, Луны и планет, так как в большинстве случаев силы взаимного притяжения планет, силы притяжения спутника Земли планетами, силы сопротивления космической среды, силы светового давления и т. п. малы по сравнению с силами гравитационного притяжения планеты и Солнца или спутника и Земли. [c.234] Замечательно то, что интегрирование дифференциальных уравнений движения в задаче двух тел сводится к квадратурам. [c.234] Таким образом, орбита точки Р является плоской кривой. Плоскость орбиты однозначно определяется вектором с, или начальным положением Го и скоростью Vo точки Р относительно точки О. [c.236] Выясним геометрический смысл интеграла площадей. Введем систему координат Oxyz, совместив плоскость Оху с плоскостью орбиты. [c.236] Таким образом, секторная скорость точки Р постоянна. В этом состоит геометрический смысл интеграла площадей. [c.237] Отсюда следует второй закон Кеплера площади, заметенные радиусом-вектором, идущим от Солнца к планете, пропорциональны промежуткам времени, в которые они были заметены. [c.237] Из интеграла (7) следует, что при удалении точки Р от точки О ее скорость убывает, а при приближении к точке О — возрастает. Если /г О, то точка Р может уйти от точки О на сколь угодно большое расстояние. Если же /г О, то, как следует из (7), расстояние г между точками Р и О не может превзойти величину 2k/ h, т. е. движение точки Р происходит в ограниченной части пространства. [c.237] Соотношение (9) называется интегралом Лапласа а вектор / — вектором Лапласа. Знак минус в правой части (9) введен для удобства дальнейшего использования интеграла (9). [c.238] Для орбит планет справедлив первый закон Кеплера планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. [c.239] Но константа энергии h равна Vq — 2к/го. Отсюда следует, что орбита будет эллиптической (е 1), если h 0. Это означает, что Vq /2kjr . Скорости, удовлетворяющие этому неравенству, называются эллиптическими скоростями. [c.239] Если /1 = О, т. е. г о = /2 /го, то е = 1, и орбита будет параболой. Скорость Vq = у2 /го называется параболической. Она является наименьшей скоростью, которую надо сообщить точке Р, находящейся на расстоянии го от точки О, чтобы она удалилась на сколь угодно большое расстояние от точки О. [c.239] Орбита будет гиперболической (е 1), если /г О, т. е. vq у2 /го. Такие скорости называются гиперболическими. [c.240] Вернуться к основной статье