ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки и их первые интегралы из "Теоретическая механика " Моменты инерции тела относительно осей Ож, Оу Oz обозначим А, 5, (7, а силу тяжести Р. [c.203] Уравнения (32), (35) образуют замкнутую систему шести дифференциальных уравнений, описывающую движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.204] Если из системы уравнений (32), (35) величины р, г, 71,72,7з найдены как функции времени, то функции 0 t) (p t) находятся из (30), а для нахождения функции p t) нужно воспользоваться любым из кинематических уравнений Эйлера (5). [c.205] Таким образом, основная задача состоит в интегрировании системы уравнений (32), (35). Анализ этой системы и составляет главную сложность задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.205] Замечая далее, что работа реакции точки О равна нулю, сила тяжести является потенциальной и потенциал П не зависит от времени, получим, что во время движения тела его полная механическая энергия Е = Т - -И постоянна (см. п. 88). [c.205] Если воспользоваться теорией множителя Якоби, то можно показать , что для того, чтобы интегрирование системы (32), (35) можно было свести к квадратурам при любых начальных условиях, достаточно помимо выписанных трех первых интегралов (36)-(38) найти еще один независимый от них интеграл. [c.205] К настоящему времени показано, что четвертый алгебраический первый интеграл относительно р, г, 71, 72, 73 существует только в следующих трех случаях, а именно в случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. [c.206] В случае Эйлера тело произвольно, но его центр тяжести находится в неподвижной точке О, т. е. а = Ь = с = 0. Этот случай подробно изучен в п. 98-104. [c.206] В случае Лагранжа эллипсоид инерции тела для неподвижной точки является эллипсоидом вращения, а центр тяжести находится на оси вращения, т. е., например, выполняются равенства А = а = Ь = 0. Как следует из последнего уравнения системы (35), в этом случае четвертым алгебраическим первым интегралом будет проекция угловой скорости тела на ось динамической симметрии г = onst. [c.206] В случае Ковалевской эллипсоид инерции для точки О является эллипсоидом вращения, например вокруг оси Oz моменты инерции удовлетворяют соотношению А = В = 2(7, а центр тяжести тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции, т. е. в наших обозначениях с = 0. [c.206] Найдено и подробно исследовано также много случаев, когда существуют частные алгебраические интегралы, позволяющие свести интегрирование системы (32), (35) к квадратурам. Но эти интегралы существуют не для всех, а только для некоторых специфически выбранных начальных условий . [c.206] Вернуться к основной статье