ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общее уравнение статики (принцип виртуальных перемеще. 63. Общее уравнение статики в обобщенных координатах из "Теоретическая механика " Пусть тождества (3) выполнены, т. е. состояние равновесия допускается связями, и пусть при t = имеем Vjj = 0. Будет ли система при выполнении условий (3) находиться в состоянии равновесия, зависит от приложенных к ней сил. [c.113] В основе статики механической системы лежит принцип виртуальных перемещений, или принцип Лагранжа. Сформулируем его в виде теоремы. [c.113] Уравнение (4) называется общим уравнением статики. [c.113] Доказательство достаточности более сложно. Мы дадим его далее в п. 158. Здесь только заметим, что это доказательство будет по существу использовать принцип полной детерминированности движения, т. е. однозначного определения движения системы по начальным положениям и скоростям образующих ее материальных точек. Следующий пример показывает, что при отсутствии полной детерминированности движения принцип виртуальных перемещений может не иметь места. [c.113] Отметим еще, что, так как Ь 2, для решения (7) ж(0) = 0. Это указывает на то, что, если даже ускорение точки в положении равновесия равно нулю, все равно точка может не находиться в равновесии при О, хотя и выполнены условия (3) и (4). Игнорирование этого обстоятельства привело к тому, что во многих учебниках и научно-методических статьях доказательство достаточности принципа виртуальных перемещений либо неполно, либо ошибочно . [c.114] Пример 1. На рис. 58 изображен механизм, состоящий из стержней, образующих три одинаковых параллелограмма. Стержни MN, RS, SL и NQ — цельные, соединенные в точках пересечения шарнирами. Положим, что точки Aq и Ai соединены нитью требуется определить ее натяжение. [c.114] Мысленно перережем нить и заменим ее действие приложенной к точке А силой F. Пусть шарнир А сдвинется вниз и 5s — его виртуальное перемещение. Ввиду цельности стержней MN, RS, SL и NQ при виртуальном перемещении диагонали всех параллелограммов удлинятся на одну и ту же величину. Вследствие этого точка А2 сместится вниз уже на 2Ss, а А — на SSs. [c.114] Пример 2 (Закон Паскаля). Закон Паскаля описывает характер распространения давления в несжимаемой жидкости давление на поверхность жидкости, произведенное внешними для жидкости силами, передается ею равномерно во все стороны. [c.115] Равенства (9) образуют систему п уравнений относительно неизвестных 10, 20 5 5 п0 5 задающих положение равновесия системы. [c.117] В частности, если система движется в однородном поле тяжести, то условия (10) примут вид dz /dqi = 0 (г = 1, 2,. .., п), где z — координата центра тяжести рассматриваемой системы в неподвижной системе координат с вертикальной осью Oz т. е. для тяжелой системы необходимые и достаточные условия равновесия совпадают с необходимыми условиями экстремальности высоты ее центра тяжести над горизонтальной плоскостью. [c.117] Равенства (14) представляют собой систему п уравнений относительно т неизвестных ю,, 205 - определяющих положение равновесия системы. Так как число неизвестных превышает число уравнений, то в общем случае имеем многообразие состояний равновесия, размерность которого не меньше числа s неголономных связей. [c.118] Отметим, что из (13) и (14) следует, что для неголономной системы в потенциальном поле сил некоторые или даже все частные производные потенциальной энергии в положении равновесия могут быть отличными от нуля. [c.118] Если 30 Ф О, то в положении равновесия производная dTl/dq отлична от нуля. [c.118] Пример 2. Два одинаковых стержня О А и АВ весом Р и длиной 2а скреплены шарниром А. Конец О стержня О А закреплен в неподвижном шарнире, а к концу В стержня АВ приложена горизонтальная сила Р/2. Оба стержня расположены в вертикальной плоскости. Требуется найти углы а и /3 при равновесии системы (рис. 61). [c.118] Пример 4. Однородный стержень AD опирается концом А на вертикальную стену, а в некоторой другой точке — на ребро В (рис. 62). Длина стержня 2а, расстояние точки В от стены Ь. Найти угол а при равновесии стержня. [c.120] Равновесие стержня возможно только в том случае, когда Ь а. [c.120] Вернуться к основной статье