ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема о равнораспределении средней энергии по степеням сво- боды. Теорема о вириале из "Термодинамика и статистическая физика Теория равновесных систем " Графики этих распределений приведены на рис. 153, а—в. [c.402] В связи с чем мы можем говорить, что, измеряя температуру классической системы, мы тем самым измеряем среднюю кинетическую энергию всех N частиц системы (в расчете на одну частицу системы или нет — это уже частное дело), причем теоретический предел погрешности этого измерения ввиду малости относительной флуктуации этой величины (6e jV 2) при V 1 чрезвычайно мал. [c.404] Задача 32. Определить связанное с тепловым движением молекул газа допплеровское уширение линии испускания, если известно, что неподвижная молекула газа испускает свет с частотой (Оо, что температура газа 9 и масса отдельной молекулы т. [c.404] Задача 33. Используя распределение Максвелла, определить давление р газа на стенку, если плотность числа частиц п и температура его 0 заданы. [c.405] Пусть стенка представляет собой идеально отражающую плоскую поверхность. Тогда каждая частица при отражении от нее меняет нормальную составляющую импульса mvx на обратную —mvx (т. е. изменение импульса Apx= + 2mvx), поэтому сила. [c.405] Мы уже отмечали ранее, что идеально гладких и плоских, идеально упругих, никак не влияющих на ударяющиеся о них частицы, соверщенно не участвующих в тепловом движении (как бы вымороженных до 0=0) стенок не бывает. Модель идеально упругой стенки — это не реализуемая идеализация. Следовательно, нет и закона идеального отражения частиц от стенки. Однако, имея в виду средние характеристики (т. е. отвлекаясь от флуктуационных явлений), можно утверждать, что в равновесной системе ввиду отсутствия потоков частиц и каких-либо локальных отклонений температуры и плотности от заданных значений, поток падающих на стенку под заданным углом частиц с нормальными составляющими скорости из интервала (и , vx + dv ) должен компенсироваться точно таким же обратным потоком, который образован, естественно, уже другими частицами, упавшими на данный участок стенки под другими углами и с другими скоростями (рис. 155). Это обстоятельство, кстати, выражено в симметрии равновесного распределения Максвелла относительно замены v- -—V. Поэтому и полученные нами выражения для dp и давления р сохранят свой вид, что служит еще одной иллюстрацией независимости термодинамических характеристик равновесной системы от природы ограничивающих ее размер стенок. [c.406] Задача 34. Найти распределение по углам частиц максвелловского газа, вылетающих в вакуум через небольшое отверстие в бесконечно тонкой стенке сосуда. [c.406] Заметим, что полученный ответ, графически представленный в полярных -координатах на рис. 156, имеет смысл только для случая очень малого отверстия, такого, что вытекание через него газа практически не нарущает состояния термодинамического равновесия в сосуде, а само вытекание еще не может быть интерпретировано с точки зрения механики сплошных сред (т. е. размер отверстия должен быть значительно меньше средней длины свободного пробега молекул газа см. задачу 37). [c.407] Задачи и дополнительные вопросы к гл. [c.408] Если величина mvo 2 — высота потенциального барьера, изображающего стенку, то представляет поток выходящих из системы частиц (если, конечно, этот поток мал настолько, что не вызывает заметного нарушения равновесного состояния газа). Если эти вылетевшие частицы обратно в систему не возвращаются (т. е. все они отсасываются от границы каким-либо внешним полем), то полученный результат будет представлять формулу Ричардсона (О. Ri hardson, 1901) для плотности тока насыщения термоэлектронной эмиссии из катода с работой выхода mvo j2 в классической модели электронного газа. [c.408] Задача 36. Рассчитать среднюю (в расчете на одну вылетающую частицу) энергию частиц максвелловского газа, вылетающих в вакуум из небольшого отверстия в стенке сосуда. [c.408] Задача 37. Представляя газ в виде упругих шариков диаметром й, оценить среднюю длину I и среднее время т свободного пробега его частиц, считая температуру и плотность его заданными. [c.409] Решение. Ограничиваясь учетом только парных соударений частиц, рассмотрим две из них в системе отсчета, в которой одна покоится, а другая падает на нее с относительной скоростью и = Уг—VI (рис. 157). Тогда за время Аг все частицы-шарики, имеющие скорость У2, центры которых попадут в цил индр высоты А , имеющий в основаниях полусферы радиусом й, столкнутся с частицей 1. [c.409] Задачи и дополнительные вопросы к гл. [c.410] Рассчитанные в этой задаче величины являются уже не термодинамическими, а кинетическими характеристиками системы, они входят в коэффициенты переноса и т, д. (см. более подробно, а также и другие задачи подобного типа е ТД и СФ, т. II, гл. V). Для нас же знание этих характерных масштабов важно в свете оценки условности тех приемов рассмотрения, которые мы использовали во всем этом параграфе свободное движение частиц газа реализуется лишь на расстояниях порядка 10 см (порядка ста диаметров молекул) в течение времени т 10 ° с (всего лишь в сто раз превышающего время взаи.модействия частиц Твз 10 2 с). На расстояниях, больших А от стенки, система ее фактически уже не ощущает. Поэтому и к использованию таких масштабов, как квадратный сантиметр и секунда в молекулярных задачах, надо относиться со снисходительностью, как того требует всякая условность. [c.411] Задача 38. Используя общу[о зависимость энергии частицы от ее импульса Ер = Ур-с - т с , определить термодинамические характеристики идеального газа в нерелятивистском (0 С тс ) и ультрарелятивистском (0 тс2) случаях. [c.411] Для уравнения состояния получается знакомая формула р=——9- 1пг(6, о)=— или ра= . [c.413] Величина тс — это большая величина. В задаче 32 мы подсчитали, что даже для водорода О/ягс Г-О.б-10 , где Г —температура в кельвинах, так что вплоть до тысяч кельвинов (т. е. вплоть до термической диссоциации молекул газа на ионы) релятивистские поправки столь ничтожны, что мы смело можем пользоваться распределением Максвелла, не задумываясь над тем, что, интегрируя до бесконечных значений р, мы сознательно делаем ошибку, сохраняя нерелятивистскую форму р 12т для энергии частицы. При температурах порядка 10 и выше (т. е. еще задолго до релятивизма) газ уже не мож т быть назван идеальным это плазма, система из ионов и электронов. Распределение по импульсам, естественно, сохранится и в этом случае как ехр( = /р2с + т 1/6 , но учет взаимодействия ионов друг с другом (даже на уровне электростатического взаимодействия) существенно меняет термодинамические характеристики системы (см. гл. IV). [c.414] Задача 39. Найти нормированное распределение wn E)dE по полной энергии Е системы N невзаимодействующих друг с другом частиц и с его помощью определить наивероятнейшее значение энергии, ее средне значение, дисперсию и относительную флуктуацию. [c.415] Задача 40. Для классического идеального газа рассчитать ста тистический вес Г(ё, У, /V), если энергетический слой имеет ши рину бё, статистический интеграл Z(0, V, М) и большой стати стический интеграл (О, V, ,). [c.418] Вернуться к основной статье