ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные теоремы о конечных перемещениях твердого те. 22. Скорость и ускорение твердого тела при поступательном движении из "Теоретическая механика " Когда тело начнет двигаться, то оно будет переносить с собой вектор р, поворачивая его вокруг точки О. Через какое-то время t вектор р перейдет в вектор г = A t)p. Последняя формула определяет преобразование пространства, в котором выбрана система координат OXYZ. Матрица A t) ортогональна, т. е. АА = Е. Отсюда и из правила нахождения определителя произведения квадратных матриц следует, что (det А) = 1. Следовательно, det А может принимать только два значения +1 или —1, но, так как det А в начальный момент равен единице, стать равным —1 при каком-либо t он не может в силу своей непрерывности по t. [c.52] Таким образом, движение твердого тела вокруг неподвижной точки задает собственное ортогональное преобразование. [c.52] Теорема (Эйлера). Произвольное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку, можно осуществить посредством вращения вокруг некоторой оси, проходящей через эту точку. [c.52] Заметим, что утверждение теоремы Эйлера эквивалентно тому, что у матрицы А есть собственное значение, равное +1. Соответствующий собственный вектор г задает ось вращения. [c.52] Действительно, так как г = Аг, то направление этой оси остается неизменным при движении тела. [c.52] Отсюда следует, что /(1) = О, и теорема доказана. [c.53] Теорема (Шаля). Самое общее перемещение твердого тела разлагается на поступательное перемещение при котором произвольно выбранный полюс переходит из своего первоначального положения в конечное, и на вращение вокруг некоторой оси, проходящей через этот полюс. Это разложение можно совершить не единственным способом, выбирая за полюс различные точки тела при этом направление и длина поступательного перемещения будут изменяться при выборе различных полюсов, а направление оси вращения и угол поворота вокруг нее не зависят от выбора полюса. [c.53] Упражнение 2. Показать что результирующее перемещение твердого тела не зависит от Q порядка, в котором следуют одно за другим со- ставляющие его поступательное перемещение и вращение. [c.54] Теорема (Моцци). Самое общее перемещение твердого тела является винтовым перемещением. [c.54] Теорема Моцци будет доказана, если в теле найдется такая прямая, точки которой после перемещения тела из начального положения в конечное переместились бы только вдоль этой прямой. Действительно, выбирая тогда полюса на этой прямой, мы представим перемещение твердого тела в виде винтового перемещения, что и будет означать справедливость теоремы Моцци. [c.55] Величина же может быть произвольной, так как третье скалярное уравнение удовлетворяется тождественно. [c.55] Определитель выписанной системы линейных уравнений равен 4sin (o /2). Он отличен от нуля, если а О, 2тг, т. е. когда перемещение отлично от поступательного. Таким образом, мы получили в теле прямую X = X, У = F, параллельную оси вращения, точки которой смещаются при перемещении тела вдоль нее самой. [c.55] Следствие 1 (теорема Бернулли-Шаля). Самое общее перемещение плоской фигуры в своей плоскости есть либо поступательное перемещение, либо вращение вокруг точки. Эта точка называется центром конечного вращения. [c.55] Пример 1. Пусть куб движется так, что три его вершины А, Б, С переходят в новые положения Ai, Б1, l — также вершины куба (рис. 21). Выясним, каким простейшим движением может быть достигнут этот переход. [c.56] Для собственного вектора г матрицы А, отвечающего собственному значению Л = 1, имеем г = (1, 1, 1). Угол поворота определяется уравнением 2 os Ф + 1 = 0. [c.56] Таким образом, указанное перемещение куба достигается вращением вокруг диагонали DF на угол 120°. [c.56] Движение твердого тела в течение некоторого промежутка времени называется поступательным если поступательно его перемещение между положениями, соответствующими двум произвольным моментам времени из этого промежутка. Примерами поступательных движений могут служить движение пассажирского лифта в многоэтажных жилых домах, движение ящика письменного стола при его вдвигании и выдвигании, движение кабины колеса обозрения в парке. В первых двух примерах поступательное движение прямолинейное (все точки тела движутся по прямым), в третьем примере — криволинейное (точки тела движутся по криволинейным траекториям — окружностям). [c.56] Вернуться к основной статье