ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Несвободная точка, вынужденная оставаться на поверхности или на кривой из "Курс теоретической механики Том 1 Часть 2 " В частности, если поверхность абсолютно гладкая, то необходимо и достаточно, чтобы сила была направлена по нормали к поверхности (в том или в другом направлении). [c.16] Таким образом, при равновесии реакция однозначно определяется как сила, прямо противоположная действующей силе. [c.16] Спроектируем теперь активную силу F на касательную к кривой с и на плоскость, нормальную к с, и обозначим через Т к N абсолютные величины полученных таким образом составляющих, а через п — линию действия нормальной составляющей. [c.17] Из всех поверхностей, проходящих через с, выберем одну, для которой п является нормалью, и заметим, что если удовлетворяются условия равновесия для точки Р в предположении, что она может двигаться только по этой поверхности, то тем более будут удовлетворяться условия равновесия для реального случая, в котором Р может подвергаться действию других связей. [c.17] Геометрическая интерпретация этого условия очевидна. Если, как обычно, есть угол трения (tg f = f), то условие T fN выражает, что при равновесии линия действия силы F должна составлять с касательной к кривой с угол, не меньший, чем it/2 — р, т. е. должна лежать вне или на поверхности конуса Г, ось которого совпадает с касательной, а половина угла при вершине равна дополнению угла трения до прямого угла (конуса прямых, проходящих через точку Р и образующих с нормальной плоскостью к кривой угол р). [c.17] Действительно, обращаясь опять к шарику, скользящему в трубке, мы видим, что равновесие может существовать только благодаря току, что шарик удерживается элементом площади стенки трубки. [c.18] если бы выполнялось неравенство Т fiV, т. е. сила В была внутренней относительно конуса Г, она составляла бы с касательной угол, меньший угла i /2 — 9, и потому отклонялась бы больше чем на угол 9 от нормальной плоскости. В этом случае ни одна из поверхностей, проходящих через с, не была бы в состоянии воспрепятствовать движению точки Р, так как нормали ко всем таким поверхностям составляли бы с углы, большие угла трения. [c.18] Мы Приходим, таким образом, к следующему правилу Для равновесия материальной точки Р, вынужденной оставаться на кривой, необходимо и достаточно, чтобы абсолютное значение Т касательной составляющей активной силы пе превосходило некоторой доли fN (f 1) от абсолютного значения N нормальной составляющей, или иначе, чтобы активная сила не была внутренней для некоторого кругового конуса, имеющего осью касательную. [c.18] В случае связи без трения должно быть Т = О, т. е. сила должна быть нормальна к кривой. [c.18] Основываясь на физической интуиции, мы будем называть со стояние равновесия материальной точки (или системы материальных точек) устойчивым, если при любом, достаточно малом возмущении равновесия (смещение точки или системы из положения равновесия в какое-нибудь другое, достаточно близкое положение, совместимое со связями) силы, действующие на точку (или систему), стремятся возвратить ее в положение равновесия. [c.19] Выясним, какой смысл следует придавать этому стремлению сил возвратить точку (или систему) в положение равновесия. Для этой цели обратимся к понятию о работе и, как это вполне естественно, будем считать, что силы стремятся сообщить данное перемещение или препятствуют этому перемещению, в зависимости от того, будут ли эти силы в своей совокупности силами движущими (положительная работа) или силами сопротивления (отрицательная работа). Таким образом, для того чтобы различить, стремятся или нет некоторые силы сообщить точке (или системе) заданное перемещение, достаточно обратить внимание на знак полной работы, которую совершили бы силы на этом перемещении. [c.19] Отсюда вытекает следующее точное определение понятия об устойчивости равновесия (в статическом смысле) ). [c.19] Пусть Р есть материальная точка (или одна из материальных точек, составляющих данную систему) и пусть F—сила, действующая на Р в заданном положении равновесия М. Рассмотрим какое-нибудь перемещение, совместимое со связями, которое совершает точка Р (или система) из положения равновесия М в некоторое близкое положение М пусть X есть полная работа сил, действующих на точку Р (или на точки системы) при перемещении ив М в Ж. Если в достаточно малой окрестности положения равновесия работа L на всяком перемещении, совместимом со связями, оказывается положительной, то равновесие называется устойчивым. [c.19] Если существует хотя бы одно перемещение, для которого i 0, то равновесие называется неустойчивым-, если же i = О для любого перемещения, то равновесие называется безразличным. При L 0 равновесие часто тоже называют устойчивым, хотя правильнее было бы называть его только не неустойчивым. [c.19] Как действует сила F вне рассматриваемого положения равновесия, можно судить по определению силы, если речь идет о позиционных силах в других же случаях необходимо предварительно учесть особые обстоятельства, которые могут оказывать влияние на поведение силы. [c.20] Во втором случае аналогичная работа будет отрицательной и равновесие, следовательно, будет неустойчивым. [c.20] Если поверхность опоры о представляет собой горизонтальную плоскость, то работа силы тяжести будет равна нулю на всяком перемещении М М, и потому мы будем иметь безразличное равновесие. [c.20] Если допустить, что для всякой пары противоположных граней закон притяжения является одним и тем же, то центр куба будет, очевидно, положением равновесия. [c.21] Далее легко видеть, что мы имеем здесь дело с устойчивым равновесием. Действительно, рассмотрим любое положение М внутри куба. Так как притяжения возрастают вместе с расстоянием, то между силами, происходящими от любой пары противоположных граней, преобладать будет всегда та, которая относится к более удаленной грани. [c.21] Отсюда следует, что когда точка возвращается из М в Ж, она следует в сторону большего притяжения и сумма работ сил притяжения к двум противоположным граням будет положительна. Вследствие этого и полная работа шести сил при переходе из любого положения к положению равновесия будет положительной. [c.21] Вернуться к основной статье