ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Относительное движение двух фигур, вращающихся вокруг различных точек из "Курс теоретической механики Том 1 Часть 1 " Ограничение sin а ф о выражает, что общая нормаль в сопряженных профилях не совпадает с общей касательной к полярным траекториям. Чтобы от него освободиться, достаточно в установленном только что выводе, справедливом при sin а ф О, перейти к пределу в предполоягении, что sin а стремится к нулю это соотношение при этом остается без изменения, так как угол а в нем вовсе не фигурирует. [c.241] К тому же выводу можно было бы притти, исходя прямо из геометрической теоремы Савари, т. е. из того факта, что прямые СО ГГ,, IT проходят через одну и ту же точку. [c.241] С точки зрения конструктивной, это приводит к следующему эквивалентному выводу центр кривизны Г траектории у в произвольной точке F определяется пересечением нормали с прямой Г,,7, где J, в свою очередь, представляет содой пересечение прямой 14 с параллелью IT к касательной к кривой у в точке Р. [c.241] Для определенности будем предполагать, что рулетта I имеет с базой К внешнее касание. [c.242] Пусть а и 6 будут радиусы окружностей / и X, О и 2 — соответствующие центры пх (фиг. 63). Пусть Р будет произвольная точка подвижной фигуры, с которой неразрывно связана окруяшость I, а, р пусть будет расстояние точки Р от центра О окружности I. [c.242] Когда окружность I катится, то радиус ОР принимает всевозможные направления. [c.242] Рассмотрим теперь произвольное другое положение окружности I. [c.242] Пусть а будет угол, который радиус 20 в этом втором положении образует с осью абсцисс 2 этот угол мы будем считать положительным в сторону возрастающих аномалий, т. е. от оси 2 к 2г]. [c.242] I будет мгновенный центр, соответствующий второму положению. Радиус ОР после поворота отклонится от 01 в том же направлении на угол р, который легко выразить через а. В самом деле, а р выражает д.яину смещения точки касания по окружности I Ь а выражает длину ее смещения по окружности X. А так как одна окружность катится по другой без скольжения, то эти дуги равны между собой их знаки, в силу наших соглашений, совпадают. [c.242] Обыкновенную эпициклоиду, т. е. траекторию точки, лежащей на самой катящейся окружности, получим, если положим р = а. Рисунок, помещенный в следующей рубрике, содержит изображения трех типов эпициклоиды удлиненной, обыкновенной и укороченной. [c.243] С ЭТОЙ окружностью, приходит в то же положение относительно базы после каждого полного оборота окружности Ц за эти промежутки она описывает дуги, которые постоянно равны первой из них и переходят одна в другую поворотом вокруг точки Q на угол 0. [c.244] В самом деле, если положим i = 2a, т. е. Ь — а = а, то /. = 1 — - ==—1 и р = а поэтому второе из уравнений (8) дает Г] = О. [c.246] Мы видим, таким образом, что радиус кривизны в произвольной точке о ыкноввнной эпициклоиды пропорционален расстоянию этой точки от мгновенного центра 1. [c.249] Точками и Г служат центры О и 9 окружностей X и (фиг. 66). С другой стороны, поскольку мы здесь имеем дело с обыкновенной эпициклоидой, описываемой точкой Р окружности I (так что профиль с сводится к одной только точке Р), С совпадает с самой точкой Р точка же Г, собственно, и составляет центр кривизны, о котором идет речь в общем предложении. [c.249] Продолжим прямую 20 до вторичного пересечения с окруя5-ностью I в точке Г и проведем отрезок Р Р он неизбежно будет равен и параллелен отрезку 1Р. [c.249] Формулы, получающиеся для и т , непосредственно дают параметрические выражения эволюты сопоставляя их с уравнением (7 ), мы придем к формулированному уже выше выводу. [c.250] В качестве профиля с, неразрывно связанного с движущейся фигурой, а следовательно, с окружностью I, возьмем дугу эпициклоиды, имеющей окружонсть I своей базой, а рулеттой произвольную окружность к. Мы можем непосредсгвенно утверждать (рубр. 35), что сопряженный профиль в этом случае представляет собой дугу гипоциклоиды, которая имеет своей базой окружность X и рулеттой ту же окружность к, если только остановимся на предположении, что окружности I и X имеют внешнее касание. Действительно, достаточно себе представить эти три кривые, соприкасающиеся в точке I, чтобы стало ясно, что окружность к касается внешне окружности I, если она имеет с X внутреннее касание, и обратно. Отсюда следует, что с есть дуга гипоциклоиды, у— дуга эпициклоиды. [c.250] Это обнаруживает, что кривая у подобна С при отношении подобия у. [c.252] Вернуться к основной статье