ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Эпициклические методы черчения сопряженных профилей из "Курс теоретической механики Том 1 Часть 1 " Траекториями точек А и Б, по предположению, служат полупрямые ОХ II 0 если поэтому АВ есть произвольное положение стержня, то соответствующим полюсом I будет служить точка пересечения перпендикуляров, восстановленных из Л и Б к сторонам угла. Если рассматривать эти перпендикуляры как неограниченные прямые, то они образуют в точке I четыре з гла, из которых два равны а, а два другие дополняют а до тг. В поло-гкении, изображенном на рисунке, отрезки А1, В1 образуют угол А1В = т —а четырехугольник ОА1В имеет два прямые угла при противоположных вершинах и, следовательно, вписывается в круг. [c.227] Вследствие этого отрезок в этом своем положении виден из противоположного полюса под постоянным углом р = — а. Отсюда следует, что соответствующая вС1ьвь рулетты (геометрическое место полюсов на плоскости, неразрывно связанной с АВ) есть дуга окружности, идущая от точки А к точке В и имеюгцая угол р. [c.227] Легко видеть, как изменяются эти выводы, когда стержень АВ переносится так, что угол при вершине А или В треугольника ОАВ становится прямым, а затем тупым. Отрезок виден тогда из I под углом а но геометрическое место точки на плоокссги, неразрывно связанной о отрезком АВ, т. е. соответствующая ветвь рулетты, все-таки принадлежит окружности . [c.227] Теперь проведем полупрямую ОХ, противоположную ОХ и представим себе, что стержень А В, продолжая свое движение по другую сторону рассмотренного уже положения ОВц скользит своим концом А по ОХ, а концом Б попрежнему по ОТ. [c.228] Предыдущая теорема будет доказана, если мы обпару жим, что при указанных условиях каждая точка подвижной окружности с описывает в рассматриваемом движенгси диаметр неподвижной окружности (теорема Кардана) ). [c.229] С этой целью зафиксируем на окружности с какую угодно точку и рассмотрим ее движение, начиная с момента, когда она находится на окружности т, например в точке 1 мгновенного соприкосновения обеих окружностей (фиг. 55). [c.229] Вследствие этого чертящая точка, закрепленная на стержне АВ или на одном из его продолжений, будет при движении стержня описывать на плоскости эллипс. [c.231] Если мы закрепим два шарнира, Фиг. 57. [c.231] в частности, рассматривать отреа ж СВ как движущуюся фигуру. Траекториями точек С и В служат окружности, имеющие центры в А я В следовательно (рубр. 1), мгновенным центром I служит точка пересечения прямых АС я ВВ. [c.231] Если мы закрепим такие вершины, как А и С (концы стороны, которая внутренне пересекается с противоположной стороной ВВ), то при помощи совершенно аналогичного рассуждения убедимся, что полярными траекториями служат ветви гиперболы, также равные между собой. [c.231] С такой же легкостью мы обнаружим, что рулетта I также представляет собой параболу, равную своей базе, но имеющую фокусом точку Р, директриссой прямую d, проходящую через центр О, параллельно г это вытекает из того, что точка/ равноудалена от точек Ри О или, что то же, от точки Р и прямой d. [c.232] Этот прием называется эпициклическим, потому что он специально употребляется в том случае, когда обе траектории I и X суть окружности (рубр. 11). [c.232] Произвольная точка М, неразрывно связанная с к, описывает при первом качении дугу кривой с, при втором — дугу сопряженной кривой f, при этом друг другу соответствуют те точки и которые пред-тавляют положения точки М на подвижной фигуре и в плоскости движения, / п глз того как кривая к П1шкатится по i и по X на одинаковое расстояние, считая с положения Jq. Доказательство, можно сказать, непосредственно напрашивается. [c.233] Можно еще отметить, что при надлежащих соглашениях относительно сторон обращения и знаков приведенному выше дпфе-ренциальному соотношению можно придать общую форму для. любого соприкосновения профилей в точке М и при любом относительном положении мгновенного центра. [c.234] Вернуться к основной статье