ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Диференцирование переменной точки 67. — 10. Интегрирование векторов 70. — 11. Диференциальные свойства кривых. Формулы Френе. Круглые винты. 71. — Упражнения из "Курс теоретической механики Том 1 Часть 1 " Наиболее отчетливый и гибкий алгорифм для выражения и математического исследования многих проблем механики (как и других физических теорий) представляет теория векторов. Вследствие этого мы в настоявдей вводной главе изложим основные понятия и элементарные правила исчисления векторов ). Вместе с тем, читатель должен быть предупрежден, что рассуждения, которые развертываются в настоящем сочинении, предполагают отчетливое знакомство с общими курсами аналитической геометрии и анализа бесконечно-малых. [c.13] Если тот же отрезок считать обращенным не от Л к Д а в противоположную сторону — от В к Л, то получим ориентированный отрезок ВА, имеющий ту же прямую действия но для него началом служит точка В, а концом А. [c.14] Если точки А а В совпадают, то отрезок ЛБ сводится к единственной точке А В и называется нулевым отрезком. Для нулевого отрезка как прямая действия, так и сторона обращения остаются неопределенными это единственный случай, в котором противоположные отрезки АВ и ВА совпадают. [c.14] Таким образом ориентированный не нулевой отрезок АВ представляет собой геометрический объект, который характеризуется началом, длиной (отношением отрезка, ограничиваемого точками Л и Д к установленной единице), направлением и стороной oSpawfiHUH.Bo избежание недоразумений следует указать, что под словом направление мы разумеем общую характеристику как данной прямой, так и всех параллельных ей прямых, независимо от стороны обращения. Иными словами, два отрезка рассматриваются как имеющие то же направление, если они лежат на одной и той же прямой или на двух параллельных прямых, независимо от того, обращены ли они в одну и ту же или в противоположные стороны. [c.14] Для нулевого отрезка остаются неопределенными как линия действия и направление, так и сторона обращения. [c.14] Чтобы индивидуализировать такой вектор, мы можем взять ориентированный отрезок АВ или какой-либо из эквиполлентных ему отрезков точно так же, как для определения заданного направления мы можем воспользоваться любой из параллельных прямых, а для определения расположения плоскости можно воспользоваться любой из параллельных ей плоскостей. [c.15] В частности, все нулевые отрезки представляют один и тот же вектор, называемый нулевым вектором-, длина этого вектора равна нулю, а его направление и сторона обращёния остаются неопределенными. Всякий другой вектор имеет длину, отличную от пуля, и вполне определенное направление, как и сторону обращения. [c.15] ИЛИ тензором ) вектора, обозначается символом mod v или , а еще проще той же буквой, которой обозначен вектор, но обыкновенного курсивного шрифта, например mod v = v. [c.16] Вектор, длина которого равна единице, называется еЭмкичиыл можно сказать, что каждый единичный вектор устанавливает определенное ориентированное направление, и обратно. [c.16] Единичный вектор, имеющий то же направление и ту же сторону обращения, что и вектор V, называется версором вектора 0 и обозначается символом vers v. [c.16] Наконец, прибавим, что в противоположность векторам или векториальным величинам числа относительные 2)] и величины, выражаемые такими числами, называются скалярами. [c.16] Составляющая вектора v, отличного от нуля, равна нулю Б том, и только в том, случае, когда прямая или плоскость, проекцией на которую она выражается, перпендикулярна к век-юру составляющая же нулевого вектора всегда равна нулю, цо какой бы прямой или плоскости она ни была взята. [c.17] Совершенно ясно, что равные векторы имеют равные составляющие при любом направлении прямой или любом располооюении плоскости проекций. [c.17] Что касается самых названий правосторонний и левосторонний триэдр, то они ведут свое начало от того, что большой, указательный и средний пальцы соответственно правой или левой руки в том порядке, как мы их называем, как бы осуществляют такой правосторонний или левосторонний триэдр. [c.18] Заметим еще, что правостороннее вращение происходит для наблюдателя, стоящего по оси вращения (это значит, ось вращения, проходя через его туловище, обращена от ног к голове), в сторону, обратную движению часовой стрелки. [c.18] Две группы формул (2) и (З) непосредственно обнаруживают, что компоненты вектора по осям дают все характерные для него элементы. [c.19] В общем из формул (2)—(5) явствует, что между векторами в пространстве и тернами (тройками) чисел у , у — их компонентами по осям — существует двуоднозначная зависимость ) это дает основание называть компонент вектора также его координатами 2). [c.19] Как это можно было, конечно, предвидеть, формулы преобразования компонент одного и того же вектора при переходе от одного координатного триэдра к другому, зависят только от расположения осей нового триэдра относительно первоначального, а не от перенесения начала координат. [c.21] Вернуться к основной статье