ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нормальные координаты. Ортогональные соотношения . 93. Теория кратных корней из "Теоретическая механика Том 3 " В дальнейшем все отклонения от положения равновесия будем считать малыми, так что коэфициенты можно рассматривать как постоянные и равные их значениям в положении равновесия. [c.220] Это — симметричный определитель -й степени относительно Можно показать, что все п значений X вещественны, и если выражение (2) для V существенно положительно, то все значения отрицательны. [c.221] Если Дг = 0, где / , то на основании известной теоремы из теории определителей знаки Д ц. и Д,. 1 (предполагая, что они не обращаются в нуль вместе с Д,) будут противоположными. Следовательно, при прохождении величины Х - через корень определителя Д число перемен знака не изменяется, так что изменение числа перемен знака может произойти только вследствие обращения в нуль определителя Д , которое, таким образом, должно получиться при п действительных (и разных) значениях Х . Аналогично существуют п— действительных корней определителя Д 1 и т. д. [c.221] До сих пор на потенциальную энергию не было наложено никаких условий. Но если величина V существенно положительна, то знаки у членов последовательности (10) при /г = 0 будут все положительными. Следовательно, при уменьшении от О до — оо получится п перемен знака. Таким образом корни определителя (9) будут все не только действительными, но и отрицательными 1). [c.222] Дальше будет показано, что кратный корень определителя Д характеризуется обращением в нуль всех первых миноров. Здесь мы будем предполагать, что все корни различны и что, таким образом, решения 2), приведенные ниже, вполне определены. [c.222] Периодическая форма решения (15) показывает, что, так как С, С, С, . .. по предположению малы, конфигурация системы никогда не будет значительно отличаться от конфигурации в положении равновесия. Следовательно, обращение значения V в минимум указывает на устойчивость, что находится в согласии с аргументацией Дирихле. [c.223] Если начальные условия не подобраны особым образом, то значения 7, будут постоянно расти до тех пор. пока не нарушатся предположа-ния, на которых были основаны наши приближенные уравнения. [c.223] Мы будем подразумевать преимущественно случай устойчивости, если не будет указано противное. [c.223] Пример 1. Материальная точка колеблется на гладкой поверхности около своего наинизшего положения. Это тоже случай маятника Блекберна ( Динамика , 29). [c.224] Это уравнение главных осей индикатрисы поверхности, как это и следовало ожидать. [c.224] Пример 2. Три материальных точки с одинаковыми массами прикреплены на равных расстояниях а к натянутой нити длины a, причем концы нити закреплены неподвижно. Поперечные перемещения предполягаются настолько малыми, что сила натяжения Р изменяется очень неомачительно. [c.224] Пример 3. Рассмотрим малые колебания цепи, подвешенной за один конец в вертикальном положении. [c.226] Это уравнение, заменяющее уравнение Д (Х ) = О ( 90), опредедяет допустимые значения о соответствующие типы нормальных колебаний определяются в этом случае формулой (19). [c.227] Первые два нормальных колебания представлены в раз ных масштабах на фиг. 61. Узлом является в первом случае точка подвеса. Фиг- 61. [c.227] Если все корни определителя Д(Х ) различны, то необходимое преобразование единственное и может быть выполнено при помощи некоторых ортогональных или сопряженных соотношений, которые мы и будем употреблять в дальнейшем. [c.228] Пример. Рассмотреть задачу о колебаниях трех масс, прикрепленных к натянутой jiHTH, как в примере 2 91. [c.229] Так как этот вопрос представляет интерес скорее с алгебраической, чем с динамической точки зрения, то достаточно лишь кратко указать, как надо изменить изложение 90 в случае существования кратного корня любого порядка и, в частности, как будет обеспечена общность решения с полным числом произвольных постоянных. [c.232] Если значение удовлетворяет уравнению Д = 0, но не удовлетворяет уравнению Д = О, то мы можем приписать одному из коэфи-циентов произвольное значение, и тогда остальные коэфициенты определяются однозначно. Это будет как раз случай, рассмотренный в 90. [c.232] Вернуться к основной статье