ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема взаимности . 76. Теоремы Делоне и Кельвина (Томсона) (.185). 77. Уравнения Лагранжа из "Теоретическая механика Том 3 " В силу равенства 2) 74 этот термин иногда заменяет даже с опущением слова. обобщенный остальнь.е приведенные здесь термины. Прим. ред. [c.183] Пример. Рассмотрим случай одной материальной точки, отнесенной к сферическим полярным когрдинзтам. [c.184] Интерпретация этого результата наиболее проста, когда координаты имеют одинаковый характер, например, обе являются линейными размерами или обе углами. Тогда теорема утверждает, что скорость типа s, создаваемая импульсом типа г, равна скорости типа создаваемой- равным импульсом типа 5. [c.185] Пример 2. Если импульсивная пара с моментом //относительно оси (/, т, п), приложен 1я к свободному твердому телу, сообщает ему угловую скорость, составляющая которой вдоль оси (/, т, п ) равна ш, то момент той же величины относительно оси (/, т, п ) сообщит равную по величине угловую скорость ш около оси 1,т,п). [c.185] Симметрия его подтверждает теорему. [c.185] Исходя из этих формул, мы выведем две важных теоремы, в которых кинетическая энергия системы, приводимой в движение данными импульсами или (другой случай) с заданными скоростями, сравнивается с энергией системы, если на нее наложены какие-либо связи. [c.186] Таким образом энергия, приобретенная системой. при движении с заданными начальными скоростями, меньше, чем если бы на систему были наложены связи, на величину, равную энергии движения, представляющего разность между свободным движением и движением при наличии связей. Эта теорема принадлежит Кельвину (Томсону) (1863). [c.187] Другое доказательство этих теорем дэно в 83. Следует заметить, что, не считая настоящей интерпретации, они являются чисто алгебраическими, и в другом смысле встречаются в разных отделах математической физики. Аналогичные теоремы статики изложены в 88. [c.187] Пример. Рассмотрим случай вагона, содержащего ряд тел, могущих свободно вращаться или качаться наподобие маятника. Заданный горизонтальный импульс, приложенный к вагону, сообщит большее количество энергии, чем если бы возможность относительного движения некоторых из тел, находящихся в вагоне, была предотвращена. Для сообщения же вагону заданной скорости нужно затратить меньшее количество работы. [c.187] Так как М М т, то теорема подтверждается. [c.187] Этот пример иллюстрирует замечание Рэлея, что эффект наложения связи выражается в увеличении инерцпи системы. [c.187] Эти количества называются обобщенными составляющими сил i) системы. Предполагается, что символы X, Y, Z в (1) включают в себя все силы, действующие на точку т, независимо от их происхождения, но при вычислении значенйя обобщенной силы мы можем, конечно, не обращать внимания на внутренние силы, действующие между частицами твердого тела, или реакции гладких соприкасающихся поверхностей, так как эти силы не производят работы. [c.189] Если в них положить последовательно г = 1, 2, 3. и, то получим п независимых уравнений движения системы в форме, данной Лагранжем, который, повидимому, первый дал постановку, а также математическую формулировку общего метода динамики, применимого ко всем системам с конечным числом степеней свободы 2). [c.189] Это равенство выражает, что кинетическая энергия увеличивается со скоростью, равной работе, производимой силами в единицу времени. [c.189] Функция L называется. функцией Лагранжа . Та же функция, но с обратным знаком названа Гельмгольцем. кинетическим потенциалом. [c.190] Вернуться к основной статье