ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дудин (Москва). Массообмен на треугольном крыле в гиперзвуковом потоке из "Механика жидкости и газа 2002 N02 " Установлено существование аналитических решений уравнения Навье - Стокса, показывающих, что разделяющие линии тока в плоскопараллельном стационарном потоке вязкой несжимаемой жидкости могут подходить к обтекаемому контуру под любым углом, включая подход по нормали и по касательной. Выяснено также, что в одной точке обтекаемого контура могут пересекаться несколько разделяющих линий тока и их углы подхода к контуру также могут быть достаточно произвольными. [c.76] Ответ на вопрос о направлении подхода разделяющей линии тока к обтекаемому контуру лежит вне возможностей численного решения задач. В то же время расчеты течений вязкой жидкости создают представление о различных возможностях. Так, например, на рисунках работы [1] разделяющие линии тока подходят к контуру жесткой стенки либо по касательной, либо под малым углом. Интегрирование уравнений Навье - Стокса в [1] проведено на сетках, адаптированных к модулю градиента искомой функции, и выполнено с точностью, обеспечивающей правильность рисунков. В статье [2] по той же разностной схеме, что и в [1], получен подход разделяющих линий тока к стенке под конечным углом, отличным от нулевого. Неясность с точным значением такого угла всегда вызывает у авторов расчетов сомнения при вычерчивании иллюстраций. [c.76] Работа [3] посвящена аналитическому исследованию различных схем течений в окрестности точки прихода изолированной линии тока на обтекаемую поверхность в трехмерном случае. Приход поверхностей тока на стенку в [3] не рассматривается. Настоящая статья посвящена восполнению этого пробела в случае плоскопараллельных течений. [c.76] Для общего случая произвольных углов, образуемых стенками, собственные значения и собственные функции такой задачи, а также вопросы разложения по собственным функциям изучались, например, в [5]. [c.77] Далее рассмотрим некоторые решения, извлеченные из этой суммы. Стоксово приближение обозначается через / . [c.77] Во всех случаях (1.6)-(1.8) вектор скорости на верхней разделяющей линии тока направлен к началу координат. Приведенные в этих формулах функции удовлетворяют однородному уравнению (1.2) и однородным граничным условиям (1.3), поэтому изменение знака перед правыми частями равенств (1.6)-(1.8) меняет направление течения на противоположное. [c.79] Приведенные решения показывают, что в приближении Стокса разделяющие ИИ тока могут подходить к обтекаемому контуру под любым углом. При этом ляющих линий тока, входящих в одну точку границы, может быть несколько. ечеиия, описываемые полным уравнением Навье - Стокса. В этом разделе будет установлено существование решений уравнения Навье - Стокса (1.1), для которых в малой окрестности начала координат картины линий тока практически не отличаются от определяемых стоксовыми решениями (1.6)-(1.8). [c.80] Имеет место следующее утверждение. [c.80] С использованием свойств (2.3) это приводит к (2.15). [c.82] Минимальные степени каждого из слагаемых во второй и третьей суммах в правой части (2.8) оцениваются аналогично предыдущему величиной Зт-п ( 2т-п). Этот случай является промежуточным между случаями (2.14) и (2.15). Таким образом, в конечном итоге получаем первую оценку (2.12) для к = п. [c.82] Таким образом, во всех рассмотренных случаях порядок малости добавка ф, оказывается выше степени многочлена /°. [c.82] Эти формулы находятся в согласии с оценками (2.16). При этом в (2.16) равенство достигается при всех /, за исключением / = 3 и 6, для которых /degф, оказывается равным не 6, а 8. [c.82] Изменение знака на противоположный в силу нелинейности уравнения (1.1) меняет, естественно, величину ф более сложным образом. [c.82] Тем не менее линии уровня аналитической функции от х, у (в данном случае это линии тока) в общем случае могут иметь точки излома или возврата. Если такая точка в рассмотренных примерах попадает в начало координат, то схема стоксова течения в случае уравнения Навье - Стокса может разрушиться. Поэтому желательно показать, что разделяющие линии тока у точных решений /, уравнения Навье -Стокса в малых окрестностях точки (О, 0) мало отличаются от разделяющих линий тока для стоксовых приближений / . Это устанавливается на основе следующего утверждения. [c.83] первое утверждение леммы 2 установлено. [c.84] В случае /= 1, 2, 4, 5, 7 и 8 функции и° сами являются однородными многочленами степеней 1 - для / = 1 и 2, 2 - для / = 4 и 5, 3 - для / = 7 и 8. Поэтому для таких / вьшолняется равенство pi(x,y) = uf x,y), причем, как нетрудно проверить, корни тригонометрических многочленов Р, = p/( os O, sin iJ) являются простыми и отличными от л/2, а потому аналитическими ветвями уравнений f (х, у) = О будут прямые O i(r)sai J, г 0. Числа (д/ - /п/), где ш/ и /соответствуют числам тид в лемме 2 (см. (3.1) и (3.2)), будут равны следующим значениям 3 - для / = 1 и 2, 4 - для / = 4, 5 - для / = 5, 7 и 8. В силу (3.6) разделяющие линии тока для решений у, уравнения Навье - Стокса представляются в полярной системе координат уравнениями -O = o,j(r) = a,j -н ) и потому имеют высокий порядок касания с соответствующими разделяющими линиями - прямыми для стоксовых решений Vf/J ijr.j) в полуплоскости х 0. [c.86] Таким образом, из (3.15) следует, что в точке (0,0) кривые u = i +(r) имеют касание с кривыми д = т +(г) существенно более высокого порядка, чем порядок касания кривых = +(/ ) с границей л = 0. Из (3.16) вытекает также, что разделяющая линия тока д = +0 ) для решения уравнения Навье - Стокса /з(д , у) остается в достаточно малой окрестности точки (О, 0) в полуплоскости х О, а кривая u = i -(/ ) - в полуплоскости Л О и потому не появляется в полуплоскости х 0. [c.87] поскольку в тейлоровском разложении решения )/(дг, у) задачи Коши (2.1) с v/ , определяемым (4.1), для уравнения Навье - Стокса (1.1) все одночлены содержат степени х заведомо не меньше 2, функция и(х, у) = х Щх, у) также является аналитической функцией в окрестности точки (0,0). В силу леммы 1 ldeg( j/ - xi/ ) 2 п + 1). [c.87] Вернуться к основной статье