ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Казаков (Москва). Устойчивость нестационарного пограничного слоя на линии растекания стреловидного крыла при изменении во времени температуры поверхности и скорости отсоса газа из "Механика жидкости и газа 2002 N01 " Рассматривается устойчивость геотермальной системы в случае, когда слой воды находится над слоем перегретого пара в пласте с относительно низкой проницаемостью, расположенном между двумя высокопроницаемыми параллельными пластами. Получено решение стационарной ограниченной задачи с поверхностью фазового перехода, разделяющей области существования воды и пара, в предположении малости конвективного переноса энергии по сравнению с кондуктивным. Исследование нормальной устойчивости поверхности фазового перехода показывает, что устойчивые конфигурации в рассматриваемой геотермальной системе почти всегда существуют в диапазоне проницаемостей, ограниченном сверху величиной к Ю - м . Критерий преобладания кондуктивного переноса энергии над конвективным, являющийся в то же время критерием существования базового решения, оказывается, таким образом, и критерием устойчивости поверхности раздела фаз в рассматриваемой геотермальной системе. Достаточно высокое значение проницаемости, удовлетворяющее этому критерию, позволяет объяснить существование устойчивых природных геотермальных резервуаров, где слой воды расположен над слоем пара. [c.3] Натурные исследования геотермальных систем показали, что во многих резервуарах реализуется ситуация, когда слой воды значительной толщины располагается над слоем перегретого пара [1, 2]. Существование такой конфигурации, с термодинамической точки зрения, объясняется наличием существенного температурного градиента, характерного для геотермальных систем. С другой стороны, исследования гидродинамической устойчивости показывают, что состояние, когда слой тяжелой жидкости располагается над слоем легкой жидкости, является неустойчивым [3]. Были выдвинуты различные гипотезы качественного характера о физических механизмах устойчивости геотермальных систем, содержащих слой воды над слоем пара [2]. [c.3] В работе [4] был приведен пример такой геотермальной системы, когда слой воды располагается над слоем пара, и исследовалась линейная устойчивость границы раздела фазовых переходов вода - пар. Предполагалось, что нижняя граница есть поверхность контакта непроницаемых пород и проницаемой области, насыщенной паром, в невозмущенном состоянии фазы неподвижны, а фазовый переход отсутствует. Численные исследования полученного дисперсионного соотношения показали, что рассматриваемая конфигурация может быть как устойчивой, так и неустойчивой. Было найдено критическое значение коэффициента проницаемости 4 10 м, разделяющего области устойчивого и неустойчивого состояний геотермальной системы. Для проницаемостей выше критического значения состояние системы является неустойчивым. Было отмечено, что найденное критическое значение на порядок меньше, чем характерное значение проницаемости геотермальных систем и, таким образом, устойчивость большинства систем не получила объяснения. [c.3] В настоящей работе предложен более сложный пример геотермальной системы, учитывающий движение фаз и фазовый переход в невозмущенном состоянии. Получено решение стационарной ограниченной задачи с поверхностью фазового перехода вода - пар в предположении малости конвективного переноса энергии по сравнению с кондуктивным. Проведенное исследование линейной устойчивости этого решения показывает, что в диапазоне параметров, в котором это решение существует, оно практически всегда устойчиво. Неустойчиво только вырожденное решение, представляющее собой решение покоя в невозмущенном состоянии, вероятность физической реализации которого ничтожно мала. Найдены устойчивые стационарные решения, реализующиеся при проницаемостях к 10 м , которые характерны для геотермальных систем. Представленный критерий существования стационарного решения, таким образом, совпадает с критерием устойчивости геотермальной системы. Механизм устойчивости рассматриваемого класса геотермальных систем имеет ясный физический смысл, который заключается в преобладании кондуктивного переноса энергии над конвективным. [c.4] Здесь V - скорость фильтрации, m - пористость, к - проницаемость, ц, - вязкость, Р - давление, g - ускорение свободного падения, р - плотность, С - теплоемкость, Т - температура, X — теплопроводность. Индексы w, v, s - вода, пар и скелет пористой среды соответственно, 1 - область пара, 2 - область воды. [c.5] Здесь V - скорость межфазной поверхности, q - удельная теплота испарения. Индексы п - нормаль, плюс и минус - величины относящиеся к области пара и жидкости соответственно, — значения величин на фронте. [c.5] Отсюда следует, что условие малости конвективного переноса тепла в области пара является более слабым и выполняется автоматически при условии малости конвективного переноса в области воды, если в качестве вариации давления брать разность давлений между высокопроницаемыми пластами, а характерный линейный размер представляет собой расстояние между ними. Тогда уравнения энергии сводятся к обычному уравнению теплопроводности для обеих областей. Если же в качестве вариации давления рассматривать изменения давления в каждой из однофазных областей, то могут реализовываться режимы фазовых переходов, когда градиент давления пара существенно больше градиента давления воды. Тогда конвективный перенос в области пара превосходит конвективный перенос в области воды и условия малости конвективного переноса следует рассматривать в каждой области независимо. В этом случае в качестве характерного линейного размера берется размер соответствующей однофазной области. [c.6] В силу того что при не очень больших значениях пористости (а в типичных геотермальных системах она невелика) теплоемкость и теплопроводность пород определяются соответствующими параметрами скелета, для простоты полагаем Л = Я-2 = X, и С = С2 = С,. Рассмотрим некоторые особенности течений в стационарном случае, особенно те, которые представляют интерес для исследования устойчивости. [c.7] В зависимости от значений температуры и давления в высокопроницаемых пластах могут реализовываться различные режимы фазовых переходов, соответствующие различным направлениям движения фаз, т.е. перетоку теплоносителя из верхнего слоя в нижний или наоборот. В первом случае процесс сопровождается испарением воды, а во втором - конденсацией пара. [c.7] Например, при = 450 К, 7 = 457 К, Ро = Р = Ю Па и / = 10 м получаем следующие значения искомых величин Т, = 454,21 К, Р, = 1,0578 10 Па и /1 = 8,4 м. Здесь вода движется вниз под действием сил тяжести, попадает в область с большей температурой и испаряется на фронте фазового перехода, что приводит к росту давления на поверхности раздела, которое превышает значения давлений на границах, но меньше гидростатического. Образующийся пар движется от фронта фазового перехода и перетекает из низкопроницаемого слоя в высокопроницаемый пласт. [c.7] Если увеличить давление в нижнем пласте, насыщенном паром, до значения Р = 1,1-10 Па, то решение системы уравнений на границе дает следующие значения 7, = 453 К, Р, = 1,0294 10 Па и Л = 3,19 м. Здесь давление на поверхности раздела уменьшилось по сравнению с предыдущим случаем, хотя давление на нижней границе увеличилось. Этот факт обусловлен тем, что в последнем случае имеет место конденсация пара, вызванная движением пара вверх из нижнего пласта и его перемещением в область меньших температур. Вода также движется вверх, перетекая из области низкопроницаемых пород в водонасыщенный высокопроницаемый пласт. [c.7] Возможен также третий случай, соответствующий отсутствию движения и фазовых переходов, являющийся вырожденным решением, для реализации которого требуется определенное соответствие между распределениями давления и температуры. Распределение давления в этом случае должно совпадать с гидростатическим. Это решение может быть построено, задавая положение поверхности фазовых превращений. [c.7] Представленное решение покоя реализуется только при указанных граничных значениях давления и совпадении температуры пласта с температурой фазового перехода, вычисленной по распределению давления на поверхности раздела. Изменение значений давления на границах или распределения температуры приводит к решению с движением фаз. Это означает, что решения покоя представляют собой вырожденные изолированные решения в том смысле, что малое изменение граничных условий приводит к решению с движением фаз. В зависимости от того, уменьшено или увеличено давление, реализуется режим испарения или конденсации, соответственно положение поверхности раздела смещается вниз или вверх. [c.8] Следует проверить также справедливость предположения о малости конвективного переноса энергии для полученных решений. В первом примере, как показывают вычисления, кондуктивный поток тепла на два порядка превосходит конвективный в обеих областях. Во втором примере - соответственно на три порядка в области воды и на два порядка в области пара. В случае решения покоя конвективный перенос энергии отсутствует вообще, а в последнем примере конвективный перенос в обеих зонах приблизительно одинаков и на порядок меньше кондуктивного. [c.8] Если для любого фиксированного действительного х существуют комплексные корни а дисперсионного соотношения Р(а, х) = О с положительной действительной частью, то соответствующие возмущения будут экспоненциально расти со временем и базовое стационарное решение (2.1) будет неустойчиво. [c.9] Трансцендентная функция Р(а) = F(a, х) при фиксированном действительном х (в силу инвариантности дисперсионного уравнения относительно замены х — - х можно ограничиться рассмотрением только положительных х) аналитична всюду в комплексной плоскости а, кроме отрицательной вещественной полуоси, где имеет изолированные полюса, отделенные от нуля. [c.9] Рассмотрим левую часть полученного дисперсионного соотношения как функцию комплексного переменного Р(а). Нули этой функции соответствуют корням дисперсионного соотношения. Отсутствие нулей с положительной действительной частью. [c.9] В качестве контура С выберем контур, состоящий из мнимой оси и полукруга с центром в начале координат, лежащего в первом и четвертом квадранте. В силу аналитических свойств функции F(a), отмеченных выше, она не имеет особенностей в правой полуплоскости. Если F(o) имеет нули в правой полуплоскости, то выбором достаточно большого радиуса можно добиться того, чтобы все нули и полюса лежали внутри данного контура С. Контур С, представляющий собой объединение отрезка мнимой оси, симметричного вокруг нуля и полуокружности радиуса R с центром в нуле Сц = а = , / и с = а = R ехр ф, - я / 2 ф тс / 2), где у - вещественная переменная, при отображении о F o) переходит в контур С, = F( q)(j F ), где составляющие компоненты i задаются уравнениями в комплексной плоскости F( t) F( q) = А- (з )ехр[ф ( )], F( ) = Г2(ф)ехр[ф2(ф)] с конкретными функциями/ ,, ф / = 1,2. [c.10] Были проведены расчеты устойчивости стационарного решения (2.1) для большого числа граничных значений давления и проницаемости, удовлетворяющих критерию малости конвективного переноса энергии по сравнению с кондуктивным. При наличии движения фаз все эти режимы устойчивы. При этом была выявлена следующая закономерность. Чем дальше равновесное положение поверхности фазового перехода X = /г, определяемое из трансцендентных соотношений (2.2), отклоняется от серединного положения в рассматриваемом геотермальном пласте, когда толщина слоя воды совпадает с толщиной слоя пара, тем устойчивее оказывается эта поверхность. Если базовое решение (2.1) соответствует состоянию покоя, то наименее устойчивая конфигурация, где реализуется в точности серединное положение поверхности раздела воды и пара, строится достаточно просто в силу того факта, что в случае вырождения движения положение этой поверхности можно задать априори. Для данного решения существует критическое значение проницаемости к = 2,5-Ю м , разделяющее устойчивые и неустойчивые режимы покоя. При проницаемостях ниже критической решение устойчиво, а для проницаемостей выше критической - неустойчиво. [c.10] На фиг. 2, а представлены контуры С соответствующие первым двум режимам с движением фаз в невозмущенном состоянии, приведенным в разделе 2 для фиксированного значения волнового числа х. Форма контуров, представленных на фиг. 2, типична для абсолютно всех режимов, рассматриваемых в данной работе. Эти контуры состоят из двух частей дуги ВАС, которая представляет собой образ F( ,)) прямолинейной составляющей контура С в комплексной плоскости а, и дуги DB, являющейся образом F( ) полуокружности контура С. При этом принципиальный факт, обусловливающий отсутствие нулей у F(a) в силу принципа аргумента независимо от радиуса контура С, представляет собой отрицательность ненулевой координаты точки А, которая является общей для образов отрезков мнимой полуоси контура С, лежащих выше и ниже начала координат (у = 0). Как показывают расчеты, положение точки А зависит от декремента затухания. Чем меньше расстояние от точки А до нуля, тем меньше декремент затухания. [c.10] Вернуться к основной статье