ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Ларина, В.А. Рыков (Москва). Динамика неустойчивостей в вязкой ускоренно вращающейся жидкости из "Механика жидкости и газа 2001 N03 " В линейной постановке исследована термокапиллярная неустойчивость равновесия цилиндрического слоя вязкой теплопроводной жидкости при радиальном градиенте температуры относительно возмущений произвольного вида. Показано, что влияние рэлеевского механизма неустойчивости приводит к появлению монотонных возмущений нового типа. Нейтральная кривая для стационарных возмущений при этом распадается на две самостоятельные части, каждая из которых соответствует своему виду возмущений. Обнаружено, что для деформируемой свободной границы появляются новые осциллирующие возмущения, реализующиеся в виде поверхностных волн. Установлено, что поведение зтих возмущений в случае осевой симметрии полностью совпадает с поведением колебательных возмущений в плоском слое. [c.3] Возможность потери устойчивости равновесия под действием термокапиллярного эффекта впервые была показана в [1] на примере плоского, подогреваемого снизу слоя. Для не деформируемой свободной поверхности и монотонных возмущений в явном виде выписано выражение для критических чисел Марангони, при которых происходит смена устойчивости. При учете деформируемости свободной поверхности установлено [2], что капиллярность приводит к понижению порога устойчивости в области малых волновых чисел. В работе [2] также рассматривались только нейтральные монотонные возмущения. Осциллирующей неустойчивости в плоском слое с недеформируемой свободной поверхностью нет [3]. Учет деформаций свободной границы приводит к появлению осциллирующих возмущений нового типа, которые являются наиболее опасными в области коротких волн [4]. [c.3] Термокапиллярная неустойчивость равновесия цилиндрического слоя с недеформируемой свободной поверхностью при наличии радиального градиента температуры относительно монотонных возмущений исследована в [5]. Были численно построены нейтральные кривые и показано, что термокапиллярные силы могут привести к потере устойчивости равновесия и в цилиндрической области. Учет деформируемости свободной поверхности для этой задачи был проведен в [6]. В предположении монотонности возмущений в явном виде выписано выражение для критических чисел Марангони и исследовано поведение нейтральной кривой при изменении параметров задачи. Было обнаружено, что при учете капиллярности в диапазоне больших значений чисел Вебера единая нейтральная кривая распадается на три самостоятельные части. Объяснения этого явления без рассмотрения всего спектра возмущений дать не удалось. Кроме того, остался открытым вопрос о наличии осциллирующих возмущений. [c.3] Здесь М - число Марангони е - число Вебера Рг - число Прандтля В1 - число Био X,, р - коэффициенты теплопроводности и межфазного теплообмена. [c.5] В полученной задаче для возмущений в случае подогрева твердого цилиндра числа Марангони будут положительными, а при нагреве свободной поверхности - отрицательными. [c.5] Граница устойчивости равновесия определяется условием С, = 0. [c.5] Решение задачи (1.1) - (1.3) для монотонных нейтральных возмущений исследовалось в [6]. Полученная в этой работе аналитическая зависимость чисел Марангони от остальных параметров использовалась в качестве теста при расчетах. [c.5] Рассмотрим осесимметрические возмущения (т = 0) при подогреве твердого цилиндра (5 = 1). При учете деформируемости свободной поверхности нейтральная кривая для монотонно нарастающих возмущений при больших числах Вебера распадается на три несвязные кривые (кривые 7-5 на фиг. 1) [6]. В рамках рассмотрения только монотонных возмущений данный факт объяснить не удается. Для этого требуется решение полной задачи (1.1) - (1.3) для произвольных возмущений. [c.5] На фиг. 2, а приведена зависимость мнимой части комплексного декремента С, от волнового числа, значения параметров те же, что и на фиг. 1. При учете капиллярности появляется новый механизм, приводящий к потере устойчивости, связанный с геометрией свободной поверхности [7]. Это рэлеевская неустойчивость, которая приводит к дестабилизации равновесия относительно возмущений с волновыми числами, меньшими единицы. Как показано в [8], в случае идеальной жидкости все основные результаты Рэлея верны и для цилиндрического слоя. При этом учет вязкости и теплопроводности слабо влияет на характер рэлеевской неустойчивости, особенно в области а 1. На фиг. 2, а показано, что единая кривая - С, (а) при учете деформаций свободной границы - распадается на две части (кривые 7,2). У кривой 1 появляется в области а 1 горбик , характерный для неустойчивой рэлеевской моды. Кривая 3 является аналогом устойчивой рэлеевской моды. Возмущения, соответствующие кривым 1-3, нарастают либо убывают монотонным образом. В окрестности а = 1 кривые 2 и 3 сливаются, образуя на интервале 1,00056 а 1,0045 пару осциллирующих затухающих возмущений (кривая 4) с ростом волнового числа они вновь распадаются на пару монотонных. Таким образом, в области а 1 нейтральную кривую 2 на фиг. 1 формируют возмущения, соответствующие кривой 2 на фиг. 2, а. А при а 1 нейтральная кривая 3 на фиг. 1 обозначает границу устойчивости относительно возмущений, соответствующих кривой 7 на фиг. 2, а. [c.5] На фиг. 2, б показано влияние числа Марангони на поведение наиболее опасных мод. При убывании числа Марангони происходит стабилизация возмущений, соответствующих кривой 2, и при М 265 (М = 265 - минимум нейтральной кривой 2 на фиг. 1) интервал неустойчивости пропадает и кривая 2 полностью лежит в нижней полуплоскости. Кривая 1 при этом смещается вниз и для М 220 (М = 220 - локальный максимум кривой 3 на фиг. 1) появляется диапазон волновых чисел, который соответствует затухающим возмущениям. По мере убывания числа Марангони этот диапазон расширяется в сторону коротких волн. [c.6] В случае недеформируемой свободной поверхности имеется только один механизм потери устойчивости равновесия. Он связан с неоднородным распределением температуры на свободной границе и действием поверхностных сил. Это термокапиллярная неустойчивость [1]. При учете капиллярности появляется другой механизм, приводящий к потере устойчивости равновесия, - рэлеевская неустойчивость, которая обусловлена геометрией свободной поверхности. [c.6] Как показано на фиг. 2, а и б, учет деформируемости свободной поверхности приводит к распадению наиболее опасной моды на две части. Первую можно условно назвать термокапиллярно-рэлеевской (кривая 1), она соответствует неустойчивости, связанной со взаимодействием рэлеевского и термокапиллярного механизмов возникновения неустойчивости. При этом в области а 1 - это классическая неустойчивость Рэлея, а при а 1 - термокапиллярная неустойчивость в чистом виде. Устойчивость равновесия относительно возмущений этого типа возможна только при а 1 и область устойчивости расположена ниже кривой 3 на фиг. 1. Вторая часть (кривая 2) представляет собой остаточную пирсоновскую неустойчивость в области а 1. Эта мода практически совпадает в этом интервале с термокапиллярной модой для е = °о. [c.6] При стремлении а — 1 происходит стабилизация равновесия относительно этих возмущений, и в дальнейшем они затухают независимо от величины числа Марангони. Поскольку при а 1 под действием рэлеевского механизма равновесие всегда неустойчиво, получаем, что влияние этих возмущений несущественно. Таким образом, они не играют никакой роли при потере устойчивости равновесия. [c.7] При уменьшении числа Вебера первая точка разрьша нейтральной кривой на фиг, 1 смещается вправо, вторая точка разрыва влево и при We 1,0310 кривые 7 и 5 сливаются в единую нейтральную кривую, как показано на фиг. 3, построенной при е =10 (кривая 7). Нейтральная кривая для остаточных термокапиллярных возмущений (кривая 2 на фиг. 1) при этом исчезает. [c.7] На фиг. 4 приведена зависимость комплексного декремента от волнового числа для наиболее опасных мод, построенная при М = 42(Ю. Здесь кривая 7 соответствует тер-мокапиллярно-рэлеевским возмущениям, которые нарастают либо затухают монотонно. Для простоты далее эти возмущения будем называть просто термокапиллярными. На фиг. 3 границей устойчивости относительно этих возмущений служит кривая 7. [c.7] При (1 = 0,1 минимальное значение М = 4060,04 и реализуется при т = 24. Таким образом, формально наиболее опасной является азимутальная мода с т = 24. Далее с ростом т происходит стабилизация равновесия. Кроме понижения устойчивости рост азимутального волнового числа приводит к распадению единой нейтральной кривой для колебательных возмущений на две самостоятельные ветви, для = 0,1 это происходит при т = 23. На фиг. 3 и 5 приведены нейтральные кривые, построенные при т = 24 (кривые 4,5). Нейтральные кривые для колебательных возмущений лежат существенно выше кривой для т = 0. Следовательно, наиболее опасными в области небольших волновых чисел являются осесимметрические монотонно нарастающие возмущения (фиг. 3), а в коротковолновой области - колебательные возмущения. Для осесимметрических возмущений эта смена происходит в точке пересечения кривых 1 и 3 на фиг. 5. При учете азимутальных мод границу смены наиболее опасных возмущений определить несколько сложнее. [c.9] На фиг. 6 приведены графики колебательных нейтральных кривых, построенные для различных азимутальных волновых чисел. Начиная примерно с а = 25 осциллирующие нейтральные кривые для всех т лежат выше кривой, соответствующей т = 0 (фиг. 6). Таким образом, в коротковолновой области наиболее опасными являются осесимметрические колебательные возмущения. [c.9] Рассмотрим влияние толщины слоя на устойчивость равновесия. В табл. 1 приведены значения минимумов нейтральных кривых для осесимметрических колебательных возмущений Л/, полученные при различных числах Прандтля и 4, Увеличение безразмерного радиуса внутреннего цилиндра может привести к понижению порога неустойчивости. Минимальное значение М для Рг = 0,016 достигается примерно при й = 0,9 и далее с ростом (1 запас устойчивости повышается. Влияние толщины слоя на устойчивость равновесия относительно осциллирующих возмущений начинает проявляться только при достаточно больших значениях й. [c.9] Рассмотрим случай, когда подогрев слоя происходит со стороны свободной поверхности (5 = -1). Неустойчивость здесь также может возникать как монотонно, так и колебательным образом (фиг. 1, 3). Если свободная поверхность слабо деформируема, то характерное поведение нейтральных кривых иллюстрирует фиг. 1, построенная при е = 10 . Кривая 1 и часть кривой 3, лежащая ниже оси М = О, обозначают границу устойчивости равновесия относительно монотонно нарастающих возмущений, кривые 5,6- относительно осциллирующих. Существует еще одна нейтральная кривая для колебательных возмущений в области малых волновых чисел, которая не попадает в масштаб фиг. 1. Минимальное значение числа Марангони по абсолютной величине для этой кривой равно 2,9 10 , а неустойчивость реализуется в интервале волновых чисел О а 0,0164. Таким образом, эти кривая лежит внутри области неустойчивости, ограниченной кривой 1, и, следовательно, монотонные возмущения являются наиболее опасными при малых волновых числах. [c.10] Рассмотрим влияние азимутальных волновых чисел. При учете азимутальных мод происходит объединение областей неустойчивости для интервалов а 1иа 1в одну область (фиг. 7). При этом неустойчивость возникает только при достаточно длинных волнах (для = 0,1 при а 3,22), а коротковолновые возмущения стабилизируются силами поверхностного натяжения. Наиболее опасной является первая азимутальная мода и с ростом т запас устойчивости повышается. Область неустойчивости при этом смещается в сторону более длинных волн. [c.11] Вернуться к основной статье